解説

方針・初手

一辺の長さが $1$ の正八面体について、対称性を利用して中心の位置を把握し、外接球と内接球の半径を求める。 外接球の半径は正八面体の中心から各頂点までの距離として求まる。 内接球の半径は、正八面体の体積を2通りの方法（2つの正四角錐の和としての体積と、中心を頂点とする8つの三角錐の和としての体積）で表すことによって求めるのが定石である。

解法1

正八面体はすべての頂点が1つの球面上にあるため、対称性より正八面体の中心が外接球の中心となる。 正八面体を、中心を共有し底面を共通の正方形とする2つの正四角錐を合わせた図形とみなす。 一辺の長さが $1$ であるから、この底面の正方形の対角線の長さは $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ である。 外接球の半径 $R$ は中心から頂点までの距離であり、これは正方形の対角線の長さの半分に等しい。したがって、

$$R = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

である。よって、外接球の表面積は、

$$4\pi R^2 = 4\pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 2\pi$$

となる。

次に内接球の半径 $r$ を求める。正八面体の中心から各面（正三角形）に下ろした垂線の長さが $r$ である。 正八面体の体積 $V$ は、底面積が $1^2=1$、高さが $R = \frac{\sqrt{2}}{2}$ の正四角錐2つ分であるから、

$$V = 2 \times \left( \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{\sqrt{2}}{3}$$

である。 一方、正八面体は8つの合同な正三角形で囲まれており、各正三角形の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$ である。 中心を頂点とし、各面を底面とする8つの三角錐に分割して体積を考えると、

$$V = 8 \times \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot r \right) = \frac{2\sqrt{3}}{3}r$$

となる。これらが等しいことから、

$$\frac{2\sqrt{3}}{3}r = \frac{\sqrt{2}}{3}$$

$$r = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$$

よって、求める内接球の体積は、

$$\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{6\sqrt{6}}{216} = \frac{\sqrt{6}}{27}\pi$$

となる。

解法2

内接球の半径 $r$ について、適切な断面を利用して求める別解を示す。

正八面体の向かい合う2つの平行な辺の中点と、正八面体の中心を通る平面で立体を切断する。 この断面はひし形となる。 一辺の長さが $1$ の正八面体において、このひし形の各辺は面をなす正三角形の高さにあたるため、その長さは $\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。 また、ひし形の2つの対角線は、正八面体を構成する正四角錐の底面の対辺の中点同士を結んだ線分（長さ $1$）と、正八面体の向かい合う頂点同士を結んだ線分（長さ $\sqrt{2}$）である。

このひし形は、中心で直交する対角線によって4つの直角三角形に分割される。 1つの直角三角形に注目すると、直角を挟む2辺の長さは対角線の半分である $\frac{1}{2}$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ であり、斜辺の長さは $\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。 内接球の半径 $r$ は、中心からひし形の辺（正八面体の面）への垂線の長さに等しい。 この直角三角形の面積を2通りの方法で表すと、

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot r$$

が成り立つ。これを解くと、

$$r = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$$

となる。 以降の内接球の体積の計算は解法1と同様である。

解説

正多面体の内接球・外接球の半径を求める問題は頻出テーマである。 外接球の半径は、対称性を利用して中心から頂点までの距離として直接求めることができる。 内接球の半径は、三角形の面積と内接円の半径の関係 $S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$ を立体に拡張し、立体の表面積の総和 $S_{total}$ と体積 $V$ から $V = \frac{1}{3} S_{total} r$ として求めるのがもっとも汎用的な定石である。 また、解法2のように、球の中心と接点を含む適切な平面で切断し、平面図形の幾何として処理する手法も視覚的で計算の見通しが良いため、習得しておきたい。

答え

カ：$\frac{\sqrt{6}}{27}\pi$

キ：$2\pi$