解説

方針・初手

**(1)** 与えられた辺の長さの条件と $\cos$ の値から、二等辺三角形 $\text{ABC}$ において余弦定理を用いて辺の長さを求め、面積を計算する。

**(2)** 四面体の各面の対称性と、頂点が同一球面上にあることに着目する。線分 $\text{AB}$ の中点を $\text{M}$ とし、平面 $\text{MCD}$ を考えることで、四面体を扱いやすい形に分割して体積を求める。

解法1

**(1)**

$\text{AC} = \text{BC} = x$ ($x>0$) とおく。

$\triangle\text{ABC}$ において、余弦定理より

$$\text{AB}^2 = \text{AC}^2 + \text{BC}^2 - 2\text{AC}\cdot\text{BC}\cos\angle\text{ACB}$$

が成り立つ。$\text{AB}=1$, $\cos\angle\text{ACB}=\frac{4}{5}$ を代入すると

$$1 = 2x^2 - 2x^2 \cdot \frac{4}{5} = \frac{2}{5}x^2$$

$$x^2 = \frac{5}{2}$$

$x > 0$ より $x = \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ である。

$\sin\angle\text{ACB} > 0$ より

$$\sin\angle\text{ACB} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{3}{5}$$

したがって、$\triangle\text{ABC}$ の面積 $S$ は

$$S = \frac{1}{2} \cdot \text{AC} \cdot \text{BC} \sin\angle\text{ACB} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{4}$$

**(2)**

$\triangle\text{ABD}$ においても、$\text{AB}=1$, $\text{AD}=\text{BD}$, $\cos\angle\text{ADB}=\frac{4}{5}$ であるため、**(1)** と全く同様にして $\text{AD} = \text{BD} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ が成り立つ。

球の中心を $\text{O}$、線分 $\text{AB}$ の中点を $\text{M}$ とする。

$\text{OA}=\text{OB}=1, \text{AB}=1$ より $\triangle\text{OAB}$ は正三角形であるため、$\text{OM} \perp \text{AB}$ かつ

$$\text{OM} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

となる。

$\triangle\text{ABC}$ は $\text{AC}=\text{BC}$ の二等辺三角形であるから $\text{MC} \perp \text{AB}$ となる。

$\triangle\text{ABD}$ は $\text{AD}=\text{BD}$ の二等辺三角形であるから $\text{MD} \perp \text{AB}$ となる。

直角三角形 $\text{AMC}$ において、$\text{AM}=\frac{1}{2}, \text{AC}^2 = \frac{5}{2}$ より

$$\text{MC} = \sqrt{\text{AC}^2 - \text{AM}^2} = \sqrt{\frac{5}{2} - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$$

同様に $\text{MD} = \frac{3}{2}$ である。

直線 $\text{AB}$ は $2$ 直線 $\text{MC}, \text{MD}$ と垂直に交わるので、平面 $\text{MCD}$ に垂直である。

また、$\text{OA}=\text{OB}$ であり $\triangle\text{OAB}$ は二等辺三角形なので $\text{OM} \perp \text{AB}$ である。

したがって、$\text{OM}$ も平面 $\text{MCD}$ 上に含まれ、$4$ 点 $\text{O}, \text{M}, \text{C}, \text{D}$ は同一平面上にある。

この平面 $\text{MCD}$ 上で、点 $\text{O}$ を原点とし、半直線 $\text{OM}$ の方向を $x$ 軸の正の向きとする座標平面を設定する。

点 $\text{M}$ の座標は $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$ である。

$\text{C}, \text{D}$ の座標を $(x, y)$ とおくと、これらは点 $\text{O}$ を中心とする半径 $1$ の円周上にあるため

$$x^2 + y^2 = 1$$

を満たす。

また、$\text{M}$ との距離が $\frac{3}{2}$ であるため

$$\left(x - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$$

を満たす。

この $2$ 式を連立して解く。第 $2$ 式を展開し

$$x^2 - \sqrt{3}x + \frac{3}{4} + y^2 = \frac{9}{4}$$

$x^2 + y^2 = 1$ を代入して

$$1 - \sqrt{3}x + \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$$

$$\sqrt{3}x = \frac{7}{4} - \frac{9}{4} = -\frac{1}{2}$$

$$x = -\frac{1}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{6}$$

このとき、$y$ の値は

$$y^2 = 1 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2 = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$$

$$y = \pm\frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{33}}{6}$$

$\text{C}, \text{D}$ は相異なる点であるから、$y$ 座標の符号が互いに異なる。

線分 $\text{CD}$ は $y$ 軸に平行であり、その長さは

$$\text{CD} = 2 \times \frac{\sqrt{33}}{6} = \frac{\sqrt{33}}{3}$$

$\triangle\text{MCD}$ において、底辺を $\text{CD}$ とすると、高さ $h$ は $\text{M}$ と線分 $\text{CD}$ の $x$ 座標の差であるから

$$h = \frac{\sqrt{3}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{3}}{6}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$

したがって、$\triangle\text{MCD}$ の面積は

$$\triangle\text{MCD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{33}}{3} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{11}}{3}$$

四面体 $\text{ABCD}$ は、平面 $\text{MCD}$ によって $2$ つの四面体 $\text{AMCD}$ と $\text{BMCD}$ に分割できる。

平面 $\text{MCD}$ と直線 $\text{AB}$ は垂直であるから、求める体積 $V$ は

$$V = \frac{1}{3} \cdot \triangle\text{MCD} \cdot \text{AM} + \frac{1}{3} \cdot \triangle\text{MCD} \cdot \text{BM} = \frac{1}{3} \cdot \triangle\text{MCD} \cdot (\text{AM} + \text{BM})$$

$\text{AM} + \text{BM} = \text{AB} = 1$ であるから

$$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{11}}{3} \cdot 1 = \frac{\sqrt{11}}{9}$$

解説

空間図形の計量問題である。図形の対称性を活かし、どの平面で切断して考えるかを見極めることが鍵となる。$\text{AC}=\text{BC}$, $\text{AD}=\text{BD}$ という条件から、$\text{AB}$ の中点 $\text{M}$ を経由する平面 $\text{MCD}$ を考える。この平面が線分 $\text{AB}$ の垂直二等分面として機能することに気づけば、四面体を底面が共通の $2$ つの三角錐に分割できる。さらに球の中心 $\text{O}$ もこの平面上に存在することから、空間図形の問題を平面幾何の計算に帰着させることができる。

答え

(1) $\frac{3}{4}$

(2) $\frac{\sqrt{11}}{9}$