解説

方針・初手

与えられた3辺の長さ $5, 12, 13$ の関係に着目する。ピタゴラスの定理の逆から、この三角形が直角三角形であることに気づくのが第一歩である。内接円の半径を求めるには、三角形の面積を2通りの方法で表す方針と、円外の点から引いた接線の長さの性質を用いる方針が考えられる。

解法1

三角形の3辺の長さを $a=5, b=12, c=13$ とする。

$$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$$

が成り立つため、ピタゴラスの定理の逆より、この三角形は長さ $13$ の辺を斜辺とする直角三角形である。

この三角形の面積を $S$ とすると、直角を挟む2辺の長さが $5, 12$ であるから、

$$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$$

となる。

一方で、内接円の半径を $r$ とすると、三角形の面積 $S$ は、内接円の中心と各頂点を結んでできる3つの三角形の面積の和として、次のように表すことができる。

$$S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$$

値を代入すると、

$$30 = \frac{1}{2}r(5+12+13)$$

$$30 = 15r$$

$$r = 2$$

解法2

三角形の3辺の長さを $a=5, b=12, c=13$ とする。

解法1と同様に、この三角形は直角三角形である。内接円の半径を $r$ とする。

直角の頂点と内接円の中心、および直角を挟む2辺上の接点を結んでできる四角形は、すべての角が直角で隣り合う辺の長さが等しいため、一辺の長さが $r$ の正方形となる。

円外の1点から円に引いた2本の接線の長さは等しいため、斜辺上の接点によって斜辺は $5-r$ と $12-r$ の2つの部分に分けられる。

斜辺全体の長さは $13$ であるから、次の等式が成り立つ。

$$(5-r) + (12-r) = 13$$

$$17 - 2r = 13$$

$$2r = 4$$

$$r = 2$$

解説

三辺の長さから内接円の半径を求める基本問題である。$5, 12, 13$ が直角三角形の3辺の比（ピタゴラス数）であることはすぐに気付けるようにしておきたい。面積を2通りで表す解法1が最も標準的で汎用性が高いが、直角三角形であることに着目した解法2は計算が少なく素早く解けるため、空所補充問題などでは非常に有効である。

答え

$$2$$