解説

方針・初手

四角形の対角線の長さと、そのなす角が与えられている場合の面積を求める問題である。 対角線の交点を基準として四角形を4つの三角形に分割し、それぞれの面積の和として計算することで、四角形の面積公式を導出しながら解答する。

解法1

対角線 $\text{AC}$ と $\text{BD}$ の交点を $\text{O}$ とする。 対角線のなす鋭角が $60^\circ$ であるから、$\angle\text{AOB} = 60^\circ$ としても一般性を失わない。 このとき、対頂角および補角の性質より、各角は以下のようになる。

$$ \angle\text{COD} = 60^\circ, \quad \angle\text{BOC} = \angle\text{AOD} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $$

四角形 $\text{ABCD}$ の面積 $S$ は、4つの三角形 $\triangle\text{OAB}, \triangle\text{OBC}, \triangle\text{OCD}, \triangle\text{ODA}$ の面積の和であるから、次のように表せる。

$$ \begin{aligned} S &= \triangle\text{OAB} + \triangle\text{OBC} + \triangle\text{OCD} + \triangle\text{ODA} \\ &= \frac{1}{2} \text{OA} \cdot \text{OB} \sin 60^\circ + \frac{1}{2} \text{OB} \cdot \text{OC} \sin 120^\circ + \frac{1}{2} \text{OC} \cdot \text{OD} \sin 60^\circ + \frac{1}{2} \text{OD} \cdot \text{OA} \sin 120^\circ \end{aligned} $$

ここで、$\sin 120^\circ = \sin 60^\circ$ であることを利用して式を整理する。

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \sin 60^\circ (\text{OA} \cdot \text{OB} + \text{OB} \cdot \text{OC} + \text{OC} \cdot \text{OD} + \text{OD} \cdot \text{OA}) \\ &= \frac{1}{2} \sin 60^\circ \{ \text{OB} (\text{OA} + \text{OC}) + \text{OD} (\text{OA} + \text{OC}) \} \\ &= \frac{1}{2} \sin 60^\circ (\text{OA} + \text{OC})(\text{OB} + \text{OD}) \end{aligned} $$

図より、$\text{OA} + \text{OC} = \text{AC}$、$\text{OB} + \text{OD} = \text{BD}$ であるから、面積 $S$ は次のようにまとまる。

$$ S = \frac{1}{2} \text{AC} \cdot \text{BD} \sin 60^\circ $$

与えられた条件 $\text{AC} = \frac{4}{\sqrt{3}}$、$\text{BD} = 3$ を代入して計算する。

$$ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 $$

したがって、四角形 $\text{ABCD}$ の面積は $3$ である。

解法2

図形的な工夫を用いて解くこともできる。 四角形 $\text{ABCD}$ の各頂点を通る、対角線と平行な直線を引く。 頂点 $\text{A}, \text{C}$ を通り対角線 $\text{BD}$ に平行な直線と、頂点 $\text{B}, \text{D}$ を通り対角線 $\text{AC}$ に平行な直線をそれぞれ引き、それらの交点からなる四角形を考える。

この外側に作られた四角形は、隣り合う辺の長さが対角線 $\text{AC}, \text{BD}$ に等しく、そのなす角が対角線のなす角に等しい平行四辺形となる。 四角形 $\text{ABCD}$ を構成する4つの三角形は、それぞれ外側の平行四辺形を4分割した小さな平行四辺形の半分の面積を占めている。 したがって、四角形 $\text{ABCD}$ の面積 $S$ は、外側の平行四辺形の面積のちょうど半分になる。

外側の平行四辺形の面積は $\text{AC} \cdot \text{BD} \sin 60^\circ$ であるから、

$$ S = \frac{1}{2} \text{AC} \cdot \text{BD} \sin 60^\circ $$

となる。 数値を代入して、

$$ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 $$

となる。

解説

対角線の長さが $p, q$ で、そのなす角が $\theta$ である四角形の面積 $S$ は、「$S = \frac{1}{2} pq \sin \theta$」で求められるという公式を利用する典型問題である。 公式として結果だけを丸暗記するのではなく、解法1のように交点を中心とした4つの三角形の面積の和として計算する過程や、解法2のように外接する平行四辺形を考える図形的な意味を理解しておくことが重要である。

答え

3