解説

方針・初手

(1) 角の二等分線の長さは、三角形の面積を2つの小三角形の面積の和として表すことで求めるのが定石である。与えられた辺の積の条件と $120^{\circ}$ という有名角を活かして立式する。 (2) (1)で得られた $\text{AD}$ の式の形から、分母に $x+\frac{1}{x}$ の形が現れることに着目する。$x>0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係を用いるのが最も簡明である。

解法1

**(1)**

$\text{AB} = x$ とおく。 条件より $\text{AB} \cdot \text{AC} = 1$ であるから、

$$ x \cdot \text{AC} = 1 $$

$x > 0$ より、

$$ \text{AC} = \frac{1}{x} $$

となる。 $\text{AD}$ は $\angle\text{A}$ の二等分線であるから、$\angle\text{BAD} = \angle\text{CAD} = 60^{\circ}$ である。 ここで、$\triangle\text{ABC}$ の面積を $\triangle\text{ABD}$ と $\triangle\text{ACD}$ の面積の和として表すと、

$$ \triangle\text{ABC} = \triangle\text{ABD} + \triangle\text{ACD} $$

$$ \frac{1}{2} \text{AB} \cdot \text{AC} \sin 120^{\circ} = \frac{1}{2} \text{AB} \cdot \text{AD} \sin 60^{\circ} + \frac{1}{2} \text{AC} \cdot \text{AD} \sin 60^{\circ} $$

両辺を $\frac{1}{2} \sin 60^{\circ}$ （ $\sin 120^{\circ} = \sin 60^{\circ} \neq 0$ ）で割ると、

$$ \text{AB} \cdot \text{AC} = \text{AB} \cdot \text{AD} + \text{AC} \cdot \text{AD} $$

$$ \text{AB} \cdot \text{AC} = (\text{AB} + \text{AC}) \text{AD} $$

これに $\text{AB} \cdot \text{AC} = 1$、$\text{AB} = x$、$\text{AC} = \frac{1}{x}$ を代入すると、

$$ 1 = \left( x + \frac{1}{x} \right) \text{AD} $$

$x > 0$ より $x + \frac{1}{x} > 0$ であるから、両辺を割って、

$$ \text{AD} = \frac{1}{x + \frac{1}{x}} = \frac{x}{x^2 + 1} $$

**(2)**

(1)より、

$$ \text{AD} = \frac{1}{x + \frac{1}{x}} $$

である。$\text{AD}$ が最大となるのは、分母の $x + \frac{1}{x}$ が最小となるときである。 $x > 0$ 、$\frac{1}{x} > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$ x + \frac{1}{x} \geqq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2 $$

が成り立つ。 等号が成立するのは、$x = \frac{1}{x}$ すなわち $x^2 = 1$ のときである。 $x > 0$ であるから、$x = 1$ のときに等号が成立する。

したがって、分母の最小値は $2$ であり、このとき $\text{AD}$ は最大値をとる。 最大値は、

$$ \text{AD} = \frac{1}{2} $$

となる。

解説

角の二等分線の長さを求める問題における基本的な解法を問う問題である。面積を利用した立式は非常に汎用性が高く、公式として $\text{AD} = \frac{2bc}{b+c}\cos\frac{A}{2}$ のように記憶しておくことも有用であるが、本問のようにその場で導出できることが望ましい。 (2)においては、分数関数の最大・最小問題となるが、分母分子を $x$ で割ることで $x+\frac{1}{x}$ という典型的な形を作り出し、相加平均と相乗平均の大小関係を用いるのが最適である。微積分を用いて増減表を書くことでも求められるが、計算量に差が出るため、式の形から相加・相乗平均を想起できるようにしておきたい。

答え

(1) $$ \text{AD} = \frac{x}{x^2 + 1} $$

(2) 最大値 $\frac{1}{2}$

そのときの $x$ の値 $x = 1$