解説

方針・初手

三角関数の積を含む等式が与えられている。和と差の積から和の形へ直す積和の公式を利用すると、式が劇的に簡略化される。別解として、三角形の内角の和が $\pi$ であること（$A+B+C=\pi$）を用いて式を整理し、加法定理を展開していく手法も考えられる。

解法1

積和の公式 $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \{ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) \}$ を用いて与式の各項を変形する。

$$ \sin(A+B)\cos(A-B) = \frac{1}{2} \{ \sin(A+B+A-B) + \sin(A+B-(A-B)) \} = \frac{1}{2}(\sin 2A + \sin 2B) $$

$$ \sin(B+C)\cos(B-C) = \frac{1}{2} \{ \sin(B+C+B-C) + \sin(B+C-(B-C)) \} = \frac{1}{2}(\sin 2B + \sin 2C) $$

$$ \sin(C+A)\cos(C-A) = \frac{1}{2} \{ \sin(C+A+C-A) + \sin(C+A-(C-A)) \} = \frac{1}{2}(\sin 2C + \sin 2A) $$

これらを与えられた等式に代入する。

$$ \frac{1}{2}(\sin 2A + \sin 2B) + \frac{1}{2}(\sin 2B + \sin 2C) = \frac{1}{2}(\sin 2C + \sin 2A) $$

両辺を $2$ 倍して整理する。

$$ \sin 2A + 2\sin 2B + \sin 2C = \sin 2C + \sin 2A $$

$$ 2\sin 2B = 0 $$

$$ \sin 2B = 0 $$

$A, B, C$ は三角形の内角であるから、$0 < B < \pi$ である。 したがって、$0 < 2B < 2\pi$ となり、$\sin 2B = 0$ を満たすのは $2B = \pi$ のみである。

$$ B = \frac{\pi}{2} $$

よって、$\triangle \text{ABC}$ は $\angle \text{B} = 90^\circ$ の直角三角形である。

解法2

三角形の内角の和は $\pi$ であるから、$A+B+C=\pi$ が成り立つ。 これより、$A+B=\pi-C$、$B+C=\pi-A$、$C+A=\pi-B$ となるため、

$$ \sin(A+B) = \sin(\pi-C) = \sin C $$

$$ \sin(B+C) = \sin(\pi-A) = \sin A $$

$$ \sin(C+A) = \sin(\pi-B) = \sin B $$

これらを与式に代入する。

$$ \sin C \cos(A-B) + \sin A \cos(B-C) = \sin B \cos(C-A) $$

コサインの加法定理を用いて両辺を展開する。

$$ \sin C (\cos A \cos B + \sin A \sin B) + \sin A (\cos B \cos C + \sin B \sin C) = \sin B (\cos C \cos A + \sin C \sin A) $$

左辺を展開して整理する。

$$ \sin C \cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C + \sin A \cos B \cos C + \sin A \sin B \sin C $$

$$ = \cos B (\sin C \cos A + \sin A \cos C) + 2\sin A \sin B \sin C $$

ここで、サインの加法定理 $\sin(A+C) = \sin A \cos C + \cos A \sin C$ を用いると、

$$ = \cos B \sin(A+C) + 2\sin A \sin B \sin C $$

$A+C = \pi-B$ より $\sin(A+C) = \sin(\pi-B) = \sin B$ であるから、左辺は次のように変形できる。

$$ = \sin B \cos B + 2\sin A \sin B \sin C $$

一方、右辺は $\sin B \cos C \cos A + \sin A \sin B \sin C$ であるから、等式は次のようになる。

$$ \sin B \cos B + 2\sin A \sin B \sin C = \sin B \cos C \cos A + \sin A \sin B \sin C $$

すべての項を左辺に集めて整理する。

$$ \sin B \cos B + \sin A \sin B \sin C - \sin B \cos C \cos A = 0 $$

$\sin B$ でくくる。

$$ \sin B (\cos B + \sin A \sin C - \cos C \cos A) = 0 $$

括弧内において、コサインの加法定理 $\cos(A+C) = \cos A \cos C - \sin A \sin C$ を用いる。

$$ \sin B \{ \cos B - (\cos A \cos C - \sin A \sin C) \} = 0 $$

$$ \sin B \{ \cos B - \cos(A+C) \} = 0 $$

$A+C = \pi-B$ より $\cos(A+C) = \cos(\pi-B) = -\cos B$ であるから、

$$ \sin B \{ \cos B - (-\cos B) \} = 0 $$

$$ 2\sin B \cos B = 0 $$

$$ \sin 2B = 0 $$

以降の論証は解法1と同様であり、$B = \frac{\pi}{2}$ を得る。

解説

三角関数の形状決定問題の典型である。与えられた等式を角だけの関係式として処理するか、辺の長さの関係式に直して処理するかという2つの基本方針があるが、本問はすでに角だけの式となっているため、そのまま角の条件として同値変形していくのが筋がよい。 特に、積和の公式を正確に覚えていれば、数行で $\sin 2B = 0$ を導くことができ、試験場では大幅な時間短縮になる。解法2のように $A+B+C=\pi$ を用いて地道に加法定理を展開しても解けるが、計算量がやや多くなるためミスのリスクが高まる。

答え

$\angle \text{B} = 90^\circ$ の直角三角形