解説

注意

画像では小問番号が (1), (2), (2), (2) となっているが、明らかな誤植と判断し、左から順に (1), (2), (3), (4) として解答する。

方針・初手

与えられた条件式 $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ の両辺を $2$ 乗することで、$\sin \theta \cos \theta$ の値を求めることができる。 求める式はすべて $\sin \theta$ と $\cos \theta$ の対称式であるため、基本対称式である和 $\sin \theta + \cos \theta$ と積 $\sin \theta \cos \theta$ の値を用いて、式を順次変形して計算していく。

解法1

**(1)**

与えられた条件式

$$ \sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2} $$

の両辺を $2$ 乗すると、

$$ (\sin \theta + \cos \theta)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 $$

$$ \sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{4} $$

ここで、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ であるから、

$$ 1 + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} $$

$$ 2\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{4} $$

$$ \sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8} $$

**(2)**

$3$ 乗の和の公式を用いて変形する。

$$ \begin{aligned} \sin^3 \theta + \cos^3 \theta &= (\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta) \\ &= (\sin \theta + \cos \theta)(1 - \sin \theta \cos \theta) \end{aligned} $$

与えられた条件と **(1)** の結果を代入すると、

$$ \begin{aligned} \sin^3 \theta + \cos^3 \theta &= \frac{1}{2} \cdot \left\{1 - \left(-\frac{3}{8}\right)\right\} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{8} \\ &= \frac{11}{16} \end{aligned} $$

**(3)**

$4$ 乗の和は、$2$ 乗の和を平方することで作り出す。

$$ \begin{aligned} \sin^4 \theta + \cos^4 \theta &= (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta \\ &= 1^2 - 2(\sin \theta \cos \theta)^2 \end{aligned} $$

**(1)** の結果を代入すると、

$$ \begin{aligned} \sin^4 \theta + \cos^4 \theta &= 1 - 2\left(-\frac{3}{8}\right)^2 \\ &= 1 - 2 \cdot \frac{9}{64} \\ &= 1 - \frac{9}{32} \\ &= \frac{23}{32} \end{aligned} $$

**(4)**

$5$ 乗の和は、$2$ 乗の和と $3$ 乗の和の積から余分な項を引くことで求める。

$$ \begin{aligned} (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)(\sin^3 \theta + \cos^3 \theta) &= \sin^5 \theta + \sin^2 \theta \cos^3 \theta + \cos^2 \theta \sin^3 \theta + \cos^5 \theta \\ &= (\sin^5 \theta + \cos^5 \theta) + \sin^2 \theta \cos^2 \theta (\cos \theta + \sin \theta) \end{aligned} $$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ であるから、

$$ \sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin^5 \theta + \cos^5 \theta) + (\sin \theta \cos \theta)^2 (\sin \theta + \cos \theta) $$

ゆえに、

$$ \sin^5 \theta + \cos^5 \theta = (\sin^3 \theta + \cos^3 \theta) - (\sin \theta \cos \theta)^2 (\sin \theta + \cos \theta) $$

これまでに求めた値を代入すると、

$$ \begin{aligned} \sin^5 \theta + \cos^5 \theta &= \frac{11}{16} - \left(-\frac{3}{8}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{11}{16} - \frac{9}{64} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{11}{16} - \frac{9}{128} \\ &= \frac{88}{128} - \frac{9}{128} \\ &= \frac{79}{128} \end{aligned} $$

解説

三角関数の和と積を用いた対称式の値の計算は、大学入試における頻出の典型問題である。 和 $\sin \theta + \cos \theta$ または積 $\sin \theta \cos \theta$ の一方が与えられれば、関係式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いることで、もう一方の値を容易に求めることができる。 その後は、$x+y$ と $xy$ を基本対称式として、$x^n + y^n$ を基本対称式で表す計算に帰着される。 特に、$5$ 乗の和 $x^5+y^5$ は、$(x^2+y^2)(x^3+y^3)$ の展開から $x^2y^2(x+y)$ を引くという変形手法を覚えておくとスムーズに計算できる。

答え

**(1)** $\displaystyle -\frac{3}{8}$

**(2)** $\displaystyle \frac{11}{16}$

**(3)** $\displaystyle \frac{23}{32}$

**(4)** $\displaystyle \frac{79}{128}$