解説

方針・初手

三角形の3辺が $x$ の式で与えられているため、まずは各辺の長さが正となるような $x$ の範囲を求める。

最大の内角は最大の辺の対角であるため、各辺の長さの差を計算して大小関係を調べ、最大辺を特定する。

その後、余弦定理を用いて最大角 $\theta$ の $\cos\theta$ の値を計算し、求める式の値を導出する。

解法1

三角形の3辺の長さを $a = x^2+x+1$、$b = 2x+1$、$c = x^2-1$ とおく。

辺の長さは正であるから、以下の不等式がすべて成り立つ。

$$ x^2+x+1 > 0 $$

$$ 2x+1 > 0 $$

$$ x^2-1 > 0 $$

第1式は $x^2+x+1 = \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0$ となり、すべての実数 $x$ で成立する。

第2式より $x > -\frac{1}{2}$ である。

第3式より $x < -1$ または $x > 1$ である。

これらを同時に満たす $x$ の範囲は $x > 1$ である。

このとき、各辺の長さの差を計算すると、

$$ \begin{aligned} a - b &= (x^2+x+1) - (2x+1) \\ &= x^2-x \\ &= x(x-1) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} a - c &= (x^2+x+1) - (x^2-1) \\ &= x+2 \end{aligned} $$

となる。$x > 1$ であるから $a - b > 0$ かつ $a - c > 0$ となり、$a > b$ かつ $a > c$ が成り立つ。

よって、最大辺は $a = x^2+x+1$ である。

なお、このとき他の2辺の和と最大辺の差を計算すると $b+c-a = (2x+1)+(x^2-1)-(x^2+x+1) = x-1 > 0$ となり、三角形の成立条件（三角不等式）も満たされている。

最大の内角 $\theta$ は、最大辺 $a$ の対角である。余弦定理より、

$$ \cos \theta = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $$

が成り立つ。分子を計算すると、

$$ \begin{aligned} b^2 + c^2 - a^2 &= (2x+1)^2 + (x^2-1)^2 - (x^2+x+1)^2 \\ &= (4x^2+4x+1) + (x^4-2x^2+1) - (x^4+2x^3+3x^2+2x+1) \\ &= (x^4+2x^2+4x+2) - (x^4+2x^3+3x^2+2x+1) \\ &= -2x^3 - x^2 + 2x + 1 \end{aligned} $$

となる。この式を因数分解すると、

$$ \begin{aligned} -2x^3 - x^2 + 2x + 1 &= -x^2(2x+1) + (2x+1) \\ &= (1-x^2)(2x+1) \\ &= -(x^2-1)(2x+1) \end{aligned} $$

となる。これを $\cos \theta$ の式に代入すると、

$$ \begin{aligned} \cos \theta &= \frac{-(x^2-1)(2x+1)}{2(2x+1)(x^2-1)} \\ &= -\frac{1}{2} \end{aligned} $$

となる。

求める値は $12(1+\cos \theta)$ であるから、代入して計算すると、

$$ \begin{aligned} 12(1+\cos \theta) &= 12\left(1 - \frac{1}{2}\right) \\ &= 12 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 6 \end{aligned} $$

となる。

解説

三角形の辺の長さが文字式で与えられたときは、「辺の長さは正」および「最大辺 < 他の2辺の和」という三角形の成立条件から、文字の変域を正確に求めることが重要である。

最大角を求めるためには、まず辺の大小関係を比較して最大辺を特定する必要がある。

余弦定理の計算では式がやや複雑になるが、整理したあとの3次式をうまくグループ化して因数分解できるかが計算を最後までやり切るポイントとなる。

答え

6