解説

方針・初手

(1) 与えられた座標から $\cos\theta$ を $a$ の式で表す。ベクトル $\vec{\text{PA}}, \vec{\text{PB}}$ の内積を利用するか、余弦定理を用いるのが自然である。あるいは、$\tan$ の加法定理を用いて立式し、三角比の相互関係から $\cos\theta$ を求めてもよい。 (2) $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲において、$\cos\theta$ は単調減少関数、$\tan\theta$ は単調増加関数であることを利用する。すなわち、$\cos\theta$ の最小化、または $\tan\theta$ の最大化として考える。分母・分子の次数に着目し、相加平均と相乗平均の大小関係を利用して極値をとる $a$ の値を調べる。

解法1

(1) 点 $\text{A}(0, 1), \text{B}(0, 2), \text{P}(a, 0)$ （$a > 0$）について、ベクトル $\vec{\text{PA}}, \vec{\text{PB}}$ の成分表示はそれぞれ以下のようになる。

$$ \vec{\text{PA}} = (0 - a, 1 - 0) = (-a, 1) $$

$$ \vec{\text{PB}} = (0 - a, 2 - 0) = (-a, 2) $$

これらのベクトルの大きさは

$$ |\vec{\text{PA}}| = \sqrt{(-a)^2 + 1^2} = \sqrt{a^2 + 1} $$

$$ |\vec{\text{PB}}| = \sqrt{(-a)^2 + 2^2} = \sqrt{a^2 + 4} $$

また、内積 $\vec{\text{PA}} \cdot \vec{\text{PB}}$ は

$$ \vec{\text{PA}} \cdot \vec{\text{PB}} = (-a) \cdot (-a) + 1 \cdot 2 = a^2 + 2 $$

$\theta = \angle\text{APB}$ より、ベクトルの内積の定義から

$$ \cos\theta = \frac{\vec{\text{PA}} \cdot \vec{\text{PB}}}{|\vec{\text{PA}}| |\vec{\text{PB}}|} $$

$$ \cos\theta = \frac{a^2 + 2}{\sqrt{a^2 + 1}\sqrt{a^2 + 4}} = \frac{a^2 + 2}{\sqrt{a^4 + 5a^2 + 4}} $$

(2) 点 $\text{P}$ の $x$ 座標 $a$ が正であることから、$a > 0$ である。原点を $\text{O}(0,0)$ とすると、直角三角形 $\text{OAP}$ と $\text{OBP}$ において $\angle\text{OPA} < \frac{\pi}{2}$, $\angle\text{OPB} < \frac{\pi}{2}$ であり、$\theta = \angle\text{OPB} - \angle\text{OPA} > 0$ であるから、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ である。 この範囲において $\cos\theta$ は単調減少する関数であるから、$\theta$ が最大になるとき、$\cos\theta$ は最小となる。さらに $\cos\theta > 0$ であるから、$\cos^2\theta$ が最小となるときを考えればよい。

$$ \cos^2\theta = \frac{(a^2 + 2)^2}{a^4 + 5a^2 + 4} = \frac{a^4 + 4a^2 + 4}{a^4 + 5a^2 + 4} = 1 - \frac{a^2}{a^4 + 5a^2 + 4} $$

分母分子を $a^2$ ($a^2 > 0$) で割ると、

$$ \cos^2\theta = 1 - \frac{1}{a^2 + \frac{4}{a^2} + 5} $$

ここで、$a^2 > 0, \frac{4}{a^2} > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より

$$ a^2 + \frac{4}{a^2} \geqq 2\sqrt{a^2 \cdot \frac{4}{a^2}} = 4 $$

等号が成立するのは $a^2 = \frac{4}{a^2}$ のときであり、$a > 0$ より $a^2 = 2$、すなわち $a = \sqrt{2}$ のときである。 したがって、分母の式 $a^2 + \frac{4}{a^2} + 5$ は $a = \sqrt{2}$ のときに最小値 $4 + 5 = 9$ をとる。 分母が最小となるとき、$\frac{1}{a^2 + \frac{4}{a^2} + 5}$ は最大となるため、$\cos^2\theta$ は最小となる。 よって、$\theta$ が最大になるのは $a = \sqrt{2}$ のときである。

解法2

(1) 原点を $\text{O}(0, 0)$ とする。$\angle\text{OPA} = \alpha, \angle\text{OPB} = \beta$ とおくと、直角三角形 $\text{OAP}, \text{OBP}$ において

$$ \tan\alpha = \frac{\text{OA}}{\text{OP}} = \frac{1}{a} $$

$$ \tan\beta = \frac{\text{OB}}{\text{OP}} = \frac{2}{a} $$

である。$\theta = \beta - \alpha$ であるから、正接の加法定理より

$$ \tan\theta = \tan(\beta - \alpha) = \frac{\tan\beta - \tan\alpha}{1 + \tan\beta\tan\alpha} $$

$$ \tan\theta = \frac{\frac{2}{a} - \frac{1}{a}}{1 + \frac{2}{a} \cdot \frac{1}{a}} = \frac{\frac{1}{a}}{1 + \frac{2}{a^2}} = \frac{a}{a^2 + 2} $$

三角比の相互関係 $1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$ より

$$ \frac{1}{\cos^2\theta} = 1 + \left( \frac{a}{a^2 + 2} \right)^2 = 1 + \frac{a^2}{a^4 + 4a^2 + 4} = \frac{a^4 + 5a^2 + 4}{(a^2 + 2)^2} $$

$a > 0$ のとき、$0 < \alpha < \beta < \frac{\pi}{2}$ であるから $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ であり、$\cos\theta > 0$ である。したがって

$$ \cos\theta = \sqrt{ \frac{(a^2 + 2)^2}{a^4 + 5a^2 + 4} } = \frac{a^2 + 2}{\sqrt{a^4 + 5a^2 + 4}} $$

(2) (1)より $\tan\theta = \frac{a}{a^2 + 2}$ であり、$a > 0$ より分母分子を $a$ で割ると

$$ \tan\theta = \frac{1}{a + \frac{2}{a}} $$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲において $\tan\theta$ は単調増加する関数であるため、$\tan\theta$ が最大となるときに $\theta$ も最大となる。 $a > 0, \frac{2}{a} > 0$ より、相加平均と相乗平均の大小関係から

$$ a + \frac{2}{a} \geqq 2\sqrt{a \cdot \frac{2}{a}} = 2\sqrt{2} $$

等号が成立するのは $a = \frac{2}{a}$ のときであり、$a > 0$ より $a^2 = 2$、すなわち $a = \sqrt{2}$ のときである。 分母 $a + \frac{2}{a}$ が最小となるとき $\tan\theta$ は最大となるため、$\theta$ が最大になるのは $a = \sqrt{2}$ のときである。

解説

図形をある位置から見たときの角度（見込む角）を最大化する典型問題である。 (1) で $\cos\theta$ を求めることが要求されているため、解法1のように素直にベクトルの内積等を用いて立式し、得られた関数から極値を評価するのが標準的である。分子に定数項を残すように式変形を工夫することで、微分の計算を回避して相加平均と相乗平均の大小関係だけで処理できる。 一方、解法2のように、座標軸上に並んだ点を見込む角の問題は正接（$\tan$）の加法定理と非常に相性が良い。結果の式がシンプルになり、最大値問題の処理も容易になるため、見込む角の問題における有力な選択肢として覚えておくとよい。

答え

**(1)** $$ \cos\theta = \frac{a^2 + 2}{\sqrt{a^4 + 5a^2 + 4}} $$

**(2)** $$ a = \sqrt{2} $$