解説

方針・初手

与えられた条件 $BC = 5\sin A$ をどのように利用するかがポイントである。正弦定理 $\frac{BC}{\sin A} = 2R$ と結びつけると、外接円の直径が辺 $AB$ の長さに等しいことがわかり、$\triangle\text{ABC}$ の形状が特定できる。また、辺と角の関係式であるため、余弦定理を用いて方程式を立てて解くことも可能である。内接円の半径は、3辺の長さが求まれば面積を利用する基本公式から計算できる。

解法1

**(1)**

正弦定理より、$\triangle\text{ABC}$ の外接円の半径を $R$ とすると、

$$\frac{BC}{\sin A} = 2R$$

が成り立つ。 問題の条件 $BC = 5\sin A$ より、$\sin A > 0$ であるから、

$$\frac{BC}{\sin A} = 5$$

となる。よって、$2R = 5$ である。 一方、問題の条件から $AB = 5$ であるため、$2R = AB$ が成り立つ。 これは、辺 $AB$ が $\triangle\text{ABC}$ の外接円の直径であることを意味する。 したがって、円周角の定理より $\triangle\text{ABC}$ は $\angle C = 90^\circ$ の直角三角形である。

三平方の定理より、

$$BC^2 + CA^2 = AB^2$$

$$BC^2 + 3^2 = 5^2$$

$$BC^2 = 25 - 9 = 16$$

$BC > 0$ であるから、$BC = 4$ である。

**(2)**

**(1)**より、$\triangle\text{ABC}$ の3辺の長さは $AB = 5, BC = 4, CA = 3$ であり、$\angle C = 90^\circ$ の直角三角形である。 $\triangle\text{ABC}$ の面積を $S$ とすると、

$$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CA = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$$

また、内接円の半径を $r$ とすると、面積 $S$ は次のように表される。

$$S = \frac{1}{2}r(AB + BC + CA)$$

よって、

$$6 = \frac{1}{2}r(5 + 4 + 3)$$

$$6 = 6r$$

これを解いて、$r = 1$ である。

解法2

**(1)**

余弦定理を用いて辺の長さを直接求める。 $BC = a$ とおく。条件 $a = 5\sin A$ より、

$$\sin A = \frac{a}{5}$$

である。$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より、

$$\cos A = \pm \sqrt{1 - \sin^2 A} = \pm \sqrt{1 - \left(\frac{a}{5}\right)^2} = \pm \frac{\sqrt{25 - a^2}}{5}$$

$\triangle\text{ABC}$ において、余弦定理より、

$$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cos A$$

$$a^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \left(\pm \frac{\sqrt{25 - a^2}}{5}\right)$$

$$a^2 = 34 \mp 6\sqrt{25 - a^2}$$

$$a^2 - 34 = \mp 6\sqrt{25 - a^2}$$

両辺を2乗して、

$$(a^2 - 34)^2 = 36(25 - a^2)$$

$$a^4 - 68a^2 + 1156 = 900 - 36a^2$$

$$a^4 - 32a^2 + 256 = 0$$

$$(a^2 - 16)^2 = 0$$

よって、$a^2 = 16$ となる。 $a > 0$ より、$a = 4$ であるから、$BC = 4$ となる。

（**(2)**については、解法1と同様に求めることができるため省略する。）

解説

正弦定理・余弦定理と三角形の面積についての基本的な理解を問う問題である。 解法1のように、$BC = 5\sin A$ という式から $\frac{BC}{\sin A} = 5$ を作り、正弦定理の形を見出すことができれば、図形的性質から直角三角形であることがわかり、鮮やかに解くことができる。 解法2のように、余弦定理と三角比の相互関係を用いて代数的に処理することも可能であり、着眼点に気づかなくても計算力があれば確実に正解にたどり着くことができる。 **(2)** は3辺の長さがわかっている三角形の内接円の半径を求める典型問題であり、「面積を2通りの方法で表す」という定石の手法を用いればよい。

答え

(1) $4$

(2) $1$