解説

方針・初手

与えられた和の条件式 $\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ の両辺を2乗し、相互関係 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を用いることで積 $\sin\theta\cos\theta$ を求める。残りの式は、$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を用いて $\sin\theta$ と $\cos\theta$ の式で表し、先ほど求めた積の値を代入する。3乗の和については、対称式の変形公式を用いて次数を下げる。

解法1

条件式 $\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ の両辺を2乗すると、

$$ (\sin\theta + \cos\theta)^2 = \frac{1}{5} $$

左辺を展開して、

$$ \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{1}{5} $$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ であるから、

$$ 1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{5} $$

$$ 2\sin\theta\cos\theta = -\frac{4}{5} $$

よって、

$$ \sin\theta\cos\theta = -\frac{2}{5} $$

次に、$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を用いて $\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta}$ を変形する。

$$ \tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $$

通分して計算すると、

$$ \tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta} $$

ここで、先に求めた $\sin\theta\cos\theta = -\frac{2}{5}$ を代入すると、

$$ \tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = \frac{1}{-\frac{2}{5}} = -\frac{5}{2} $$

最後に、$\tan^3\theta + \frac{1}{\tan^3\theta}$ を対称式の変形公式 $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を用いて変形する。

$$ \tan^3\theta + \frac{1}{\tan^3\theta} = \left(\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta}\right)^3 - 3\tan\theta \cdot \frac{1}{\tan\theta} \left(\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta}\right) $$

$$ \tan^3\theta + \frac{1}{\tan^3\theta} = \left(\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta}\right)^3 - 3\left(\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta}\right) $$

求めた $\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = -\frac{5}{2}$ を代入すると、

$$ \tan^3\theta + \frac{1}{\tan^3\theta} = \left(-\frac{5}{2}\right)^3 - 3\left(-\frac{5}{2}\right) $$

$$ \tan^3\theta + \frac{1}{\tan^3\theta} = -\frac{125}{8} + \frac{15}{2} $$

$$ \tan^3\theta + \frac{1}{\tan^3\theta} = \frac{-125 + 60}{8} = -\frac{65}{8} $$

解説

三角関数の対称式に関する基本的な問題である。和 $\sin\theta + \cos\theta$ が与えられたとき、両辺を2乗して積 $\sin\theta\cos\theta$ を求めるのは非常に定型的な処理である。また、$\tan\theta$ とその逆数の和を $\sin\theta$ と $\cos\theta$ の式に直すと、分母が積、分子が $1$ となる性質も頻出であるため、計算過程をすぐに引き出せるようにしておきたい。後半は $x + \frac{1}{x}$ の値から $x^3 + \frac{1}{x^3}$ の値を求める典型的な式の値の計算となっている。

答え

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{2}{5}$

$\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = -\frac{5}{2}$

$\tan^3\theta + \frac{1}{\tan^3\theta} = -\frac{65}{8}$