解説

方針・初手

与えられた辺の長さの和の比から、各辺の長さの比を求める。比例定数を用いて各辺の長さを表し、余弦定理を用いて $\cos A$ を計算する。最後に、三角比から面積を表し、与えられた面積の値と等置して比例定数を決定し、辺の長さ $a$ を求める。

解法1

$(a+b):(b+c):(c+a)=9:11:10$ より、正の定数 $k$ を用いて次のように表せる。

$$ \begin{cases} a+b=9k & \cdots \text{①} \\ b+c=11k & \cdots \text{②} \\ c+a=10k & \cdots \text{③} \end{cases} $$

①、②、③の辺々を足し合わせると、

$$ 2(a+b+c) = 30k $$

したがって、

$$ a+b+c = 15k \quad \cdots \text{④} $$

④から①、②、③をそれぞれ引くことで、$a, b, c$ を $k$ で表すことができる。

$$ \begin{aligned} c &= (a+b+c) - (a+b) = 15k - 9k = 6k \\ a &= (a+b+c) - (b+c) = 15k - 11k = 4k \\ b &= (a+b+c) - (c+a) = 15k - 10k = 5k \end{aligned} $$

これより、$a, b, c$ の比を簡単な整数比で表すと、

$$ a:b:c = 4k : 5k : 6k = 4:5:6 $$

これが **[ア]** の答えである。

次に、余弦定理を用いて $\cos A$ の値を求める。

$$ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $$

これに $a=4k, b=5k, c=6k$ を代入する。

$$ \cos A = \frac{(5k)^2 + (6k)^2 - (4k)^2}{2 \cdot 5k \cdot 6k} = \frac{25k^2 + 36k^2 - 16k^2}{60k^2} = \frac{45k^2}{60k^2} = \frac{3}{4} $$

これが **[イ]** の答えである。

さらに、$\triangle \text{ABC}$ の面積から $a$ の値を求める。 $\sin A > 0$ であるから、

$$ \sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4} $$

$\triangle \text{ABC}$ の面積 $S$ は、

$$ S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2} \cdot 5k \cdot 6k \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{15\sqrt{7}}{4}k^2 $$

これが $135\sqrt{7}$ に等しいので、

$$ \frac{15\sqrt{7}}{4}k^2 = 135\sqrt{7} $$

両辺を整理して $k^2$ を求める。

$$ k^2 = 135\sqrt{7} \cdot \frac{4}{15\sqrt{7}} = 9 \cdot 4 = 36 $$

$k>0$ であるから、$k=6$ である。 したがって、求める $a$ の値は、

$$ a = 4k = 4 \cdot 6 = 24 $$

これが **[ウ]** の答えである。

解説

連立方程式の対称性を活かし、すべての式を足し合わせてから各辺を引く手法は、和の比が与えられた図形問題における定石である。比例定数 $k$ を導入することで、比のままでは扱いにくい長さを具体的な数式として計算できるようになる。また、面積を介して比例定数 $k$ の具体的な値を決定する流れも、正弦定理や余弦定理を用いる三角比の基本問題として頻出である。

答え

[ア] $4:5:6$

[イ] $\frac{3}{4}$

[ウ] $24$