解説

方針・初手

四角形ABCDが条件から等脚台形（または長方形）になることを把握する。 (1)は、三角形における余弦定理を立式して連立するか、円に内接する四角形の性質（トレミーの定理）を利用して求める。 (2)は、対角線のなす角を求めて四角形の面積公式を利用するか、平行四辺形を補って1つの三角形の面積（等積変形）に帰着させる方針が有効である。

解法1

(1) $\triangle ABD$ において、余弦定理より

$$AB^2 = x^2 + a^2 - 2ax \cos \theta \quad \cdots ①$$

が成り立つ。 次に、条件より $AB = DC$、$AC = BD = a$、$BC$ は共通であるから、3組の辺がそれぞれ等しく $\triangle ABC \equiv \triangle DCB$ である。 これにより $\angle ACB = \angle DBC$ となる。 また、$AD // BC$ より平行線の錯角は等しいので、$\angle DBC = \angle ADB = \theta$ である。 よって、$\angle ACB = \theta$ となる。

$\triangle BCD$ において、余弦定理より

$$CD^2 = y^2 + a^2 - 2ay \cos \theta$$

ここで $AB = CD$ であるから、

$$AB^2 = y^2 + a^2 - 2ay \cos \theta \quad \cdots ②$$

①と②の辺々を引くと、

$$0 = x^2 - y^2 - 2a(x - y) \cos \theta$$

$$(x - y)(x + y) = 2a(x - y) \cos \theta$$

**(i)** $x \neq y$ のとき 両辺を $x - y \neq 0$ で割って、

$$x + y = 2a \cos \theta$$

これを①に代入して $\cos \theta$ を消去する。

$$AB^2 = x^2 + a^2 - x(x + y) = a^2 - xy$$

$AB > 0$ であるから、$AB = \sqrt{a^2 - xy}$ となる。

**(ii)** $x = y$ のとき 四角形ABCDは $AD // BC$ かつ $AD = BC$ となり、平行四辺形である。 さらに対角線の長さが $AC = BD = a$ で等しいことから、四角形ABCDは長方形となる。 このとき $\angle ABC = \frac{\pi}{2}$ であり、直角三角形ABCにおいて三平方の定理より

$$AB^2 + BC^2 = AC^2$$

$$AB^2 + x^2 = a^2$$

$$AB^2 = a^2 - x^2 = a^2 - xy$$

となり、この場合も成り立つ。 以上より、$AB = \sqrt{a^2 - xy}$ である。

(2) $\triangle ABC \equiv \triangle DCB$ より $\angle BAC = \angle CDB$ である。 さらに $AD // BC$ の錯角より $\angle ACB = \angle DAC = \theta$ である。

対角線 $AC$ と $BD$ の交点を $E$ とすると、$\angle EBC = \angle ECB = \theta$ より $\triangle EBC$ は二等辺三角形である。 したがって、対角線 $AC$ と $BD$ のなす角のうちの1つである $\angle BEC$ は、

$$\angle BEC = \pi - (\theta + \theta) = \pi - 2\theta$$

四角形ABCDの面積 $S$ は、2つの対角線の長さとそのなす角を用いて求められるため、

$$S = \frac{1}{2} AC \cdot BD \sin(\pi - 2\theta)$$

$$S = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin 2\theta = \frac{1}{2} a^2 \sin 2\theta$$

(3) (1)の過程から、$x + y = 2a \cos \theta$ が成り立っている（長方形のときも $x=y$ かつ $\cos\theta = \frac{x}{a}$ より成立する）。

$x$、$y$ は辺の長さであるため $x > 0$、$y > 0$ であり、$x + y > 0$ である。 したがって、$2a \cos \theta > 0$ となり、$\cos \theta > 0$ である。

$\theta$ は三角形の内角より $0 < \theta < \pi$ であるから、$\cos \theta > 0$ と合わせて $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ を得る。 これより $2\theta$ のとりうる値の範囲は $0 < 2\theta < \pi$ となる。

$S = \frac{1}{2} a^2 \sin 2\theta$ は、$2\theta = \frac{\pi}{2}$ すなわち $\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき最大値をとる。 最大値は $\frac{1}{2} a^2 \cdot 1 = \frac{1}{2} a^2$ である。

解法2

(1) $AD // BC$、$AB = DC$ を満たす四角形ABCDは等脚台形（または長方形）であり、常に円に内接する。 円に内接する四角形におけるトレミーの定理より、

$$AB \cdot DC + AD \cdot BC = AC \cdot BD$$

が成り立つ。 $DC = AB$、$AD = x$、$BC = y$、$AC = BD = a$ を代入すると、

$$AB^2 + xy = a^2$$

$$AB^2 = a^2 - xy$$

$AB > 0$ であるから、

$$AB = \sqrt{a^2 - xy}$$

を得る。

(2) 点Aを通り対角線BDに平行な直線を引き、直線BCとの交点をFとする。 四角形ADFBは、$AD // BF$ かつ $AF // BD$ であるから平行四辺形である。 これにより、$AF = BD = a$、$BF = AD = x$ となる。

$\triangle ACF$ において、$AC = a$、$AF = a$ であるから、二等辺三角形である。 また、平行線の同位角より $\angle AFC = \angle DBC$ であり、錯角より $\angle DBC = \angle ADB = \theta$ であるから、底角は $\angle AFC = \angle ACF = \theta$ である。 頂角 $\angle CAF$ は $\pi - 2\theta$ となる。

ここで、四角形ABCDの面積 $S$ は $\triangle ABC$ と $\triangle ADC$ の面積の和であり、$\triangle ADC$ と $\triangle ABF$ は底辺の長さが等しく高さも同じであるため面積が等しい。 よって、四角形ABCDの面積 $S$ は $\triangle ACF$ の面積に等しい。

$$S = \triangle ACF = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AF \sin(\angle CAF)$$

$$S = \frac{1}{2} a^2 \sin(\pi - 2\theta) = \frac{1}{2} a^2 \sin 2\theta$$

(3) 解法2の等積変形の図から考える。 $\triangle ACF$ において、底辺の長さは $CF = CB + BF = y + x$ である。

頂点Aから底辺CFに垂線を下ろすと、直角三角形の性質から底辺の中点までの距離が $a \cos \theta$ となるため、$CF = 2a \cos \theta$ となる。

辺の長さより $CF > 0$ であるため、$2a \cos \theta > 0$ すなわち $\cos \theta > 0$ を得る。 $\theta$ は鋭角となるため $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ である。

したがって $0 < 2\theta < \pi$ であり、$S$ の最大値は $\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき $\frac{1}{2} a^2$ となる。

解説

等脚台形の性質をうまく利用できるかが鍵となる問題である。 (1)では、余弦定理を用いた場合は2つの式から $\cos\theta$ を消去するという代数的な処理能力が問われる。一方、円に内接する四角形の性質（トレミーの定理）を知っていると計算を大幅にショートカットできる。 (2)では、対角線のなす角に着目するか、平行四辺形を補って三角形の面積に帰着させる等積変形の発想が有効である。四角形の面積公式 $S = \frac{1}{2}pq \sin \phi$（$p, q$ は対角線の長さ、$\phi$ はそのなす角）は実戦において非常に有用である。 (3)では、変域（定義域）の確認を忘れないようにしたい。図形的な意味から $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ であることを押さえておくことが重要である。

答え

(1) $AB = \sqrt{a^2 - xy}$

(2) $S = \frac{1}{2} a^2 \sin 2\theta$

(3) 最大値 $\frac{1}{2} a^2$、そのときの $\theta$ の値は $\theta = \frac{\pi}{4}$