解説

方針・初手

与えられた対称移動の条件から、各頂点 $\text{A}_n$ の原点 $\text{O}$ からの距離と、$\text{OA}_n$ がなす角の規則性を読み取る。 線分の長さと偏角を調べ、$\triangle \text{OA}_1\text{A}_2$ と $\triangle \text{OA}_2\text{A}_5$ の面積を $\theta = \angle \text{A}_1\text{OA}_2$ を用いて表し、面積比の条件から $\theta$ についての方程式を立てる。

解法1

$\angle \text{A}_1\text{OA}_2 = \theta \ (0 < \theta < \pi)$ とおく。 条件より、$\triangle \text{OA}_{n+1}\text{A}_{n+2}$ は $\triangle \text{OA}_n\text{A}_{n+1}$ を直線 $\text{OA}_{n+1}$ に関して対称移動したものである。 この対称性から、以下の2つのことが成り立つ。

1. 線分の長さについて $\text{OA}_{n+2} = \text{OA}_n$ これより、$n=1, 2, 3$ を代入して、 $\text{OA}_3 = \text{OA}_1$ $\text{OA}_4 = \text{OA}_2$ $\text{OA}_5 = \text{OA}_3$ したがって、$\text{OA}_5 = \text{OA}_1$ である。

2. 角の大きさについて $\text{A}_n$ と $\text{A}_{n+2}$ は直線 $\text{OA}_{n+1}$ に関して反対側にあり、$\angle \text{A}_{n}\text{OA}_{n+1} = \angle \text{A}_{n+2}\text{OA}_{n+1}$ である。 半直線 $\text{OA}_n$ がなす偏角を $\alpha_n$ とおくと、$\alpha_{n+1} - \alpha_n$ は一定である。 有向角の向きを適切に定めれば、

$$ \angle \text{A}_1\text{OA}_2 = \angle \text{A}_2\text{OA}_3 = \angle \text{A}_3\text{OA}_4 = \angle \text{A}_4\text{OA}_5 = \theta $$

としてよく、これらは同じ向きに加算される。 したがって、$\text{OA}_2$ と $\text{OA}_5$ のなす角は $3\theta$ となる。

次に、$\triangle \text{OA}_1\text{A}_2$ の面積を $S$、$\triangle \text{OA}_2\text{A}_5$ の面積を $S'$ とおく。 それぞれの面積は次のように表される。

$$ S = \frac{1}{2} \text{OA}_1 \cdot \text{OA}_2 \sin \theta $$

$$ S' = \frac{1}{2} \text{OA}_2 \cdot \text{OA}_5 |\sin 3\theta| $$

ここで、$\text{OA}_5 = \text{OA}_1$ を $S'$ の式に代入する。

$$ S' = \frac{1}{2} \text{OA}_1 \cdot \text{OA}_2 |\sin 3\theta| $$

問題の条件より、$S'$ は $S$ の正の整数倍であるから、ある正の整数 $k$ を用いて $S' = kS$ と表せる。 また、$\triangle \text{OA}_2\text{A}_5$ が存在するための条件から $\sin 3\theta \neq 0$ である。（$\sin 3\theta = 0$ のときは面積が $0$ になり、正の整数倍にならない）

$$ \frac{1}{2} \text{OA}_1 \cdot \text{OA}_2 |\sin 3\theta| = k \cdot \frac{1}{2} \text{OA}_1 \cdot \text{OA}_2 \sin \theta $$

$\text{OA}_1 \cdot \text{OA}_2 > 0$ であり、両辺をこれで割ると次の式を得る。

$$ |\sin 3\theta| = k \sin \theta $$

3倍角の公式 $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta = \sin\theta (3 - 4\sin^2\theta)$ を用いる。 $0 < \theta < \pi$ より $\sin\theta > 0$ であるから、$|\sin 3\theta| = \sin\theta |3 - 4\sin^2\theta|$ と変形できる。

$$ \sin\theta |3 - 4\sin^2\theta| = k \sin \theta $$

両辺を $\sin\theta \ (> 0)$ で割る。

$$ |3 - 4\sin^2\theta| = k $$

次に、$|3 - 4\sin^2\theta|$ のとりうる値の範囲を調べる。 $0 < \theta < \pi$ より $0 < \sin\theta \le 1$ であるから、$0 < \sin^2\theta \le 1$ となる。

$$ -4 \le -4\sin^2\theta < 0 $$

$$ -1 \le 3 - 4\sin^2\theta < 3 $$

したがって、絶対値をとった $|3 - 4\sin^2\theta|$ のとりうる値の範囲は $0 \le |3 - 4\sin^2\theta| < 3$ である。 $k$ は正の整数であるため、$k = 1, 2$ のいずれかである。

**(i)** $k=1$ のとき

$3 - 4\sin^2\theta = 1$ または $3 - 4\sin^2\theta = -1$ である。 $3 - 4\sin^2\theta = 1$ のとき、$\sin^2\theta = \frac{1}{2}$ より $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる。 $0 < \theta < \pi$ より、$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$ である。 $3 - 4\sin^2\theta = -1$ のとき、$\sin^2\theta = 1$ より $\sin\theta = 1$ となる。 $0 < \theta < \pi$ より、$\theta = \frac{\pi}{2}$ である。

**(ii)** $k=2$ のとき

$3 - 4\sin^2\theta = 2$ または $3 - 4\sin^2\theta = -2$ である。 $3 - 4\sin^2\theta = 2$ のとき、$\sin^2\theta = \frac{1}{4}$ より $\sin\theta = \frac{1}{2}$ となる。 $0 < \theta < \pi$ より、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ である。 $3 - 4\sin^2\theta = -2$ のとき、$\sin^2\theta = \frac{5}{4}$ となるが、$\sin^2\theta \le 1$ であるからこれを満たす実数 $\theta$ は存在しない。

以上より、$\theta$ の値は $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}$ であり、いずれの場合も $\sin 3\theta \neq 0$ を満たす。

解説

図形の対称移動を繰り返すことで、各頂点の位置関係が規則的に変化することを利用する問題である。 各三角形の面積を比較する際、辺の長さ $\text{OA}_1 = \text{OA}_3 = \text{OA}_5$ が保たれることと、偏角が等差数列となることに気づけるかが鍵となる。 また、面積比が正の整数という条件から、面積の公式を用いて $\theta$ の方程式を導出する。 ここで、$\angle \text{A}_2\text{OA}_5 = 3\theta$ となるが、$3\theta$ が $\pi$ を超える場合や負になる場合を考慮して、面積の計算式において絶対値 $|\sin 3\theta|$ を用いる必要があることに注意したい。絶対値を忘れると、解の一部（$3 - 4\sin^2\theta < 0$ となる範囲）を失ってしまう。 最終的に、$\sin^2\theta$ のとりうる値の範囲から整数 $k$ の候補を絞り込む典型的な処理に帰着される。

答え

$\frac{\pi}{6}$

$\frac{\pi}{4}$

$\frac{\pi}{2}$

$\frac{3\pi}{4}$

$\frac{5\pi}{6}$