解説

方針・初手

頂角が $36^\circ$ の二等辺三角形（いわゆる黄金三角形）に関する典型的な図形問題である。 まずは与えられた角度の条件から各内角の大きさを調べ、相似な三角形や隠れた二等辺三角形を見つけ出すことが第一歩となる。 **(1)** は三角形の相似比から、**(2)** は直角三角形への垂線や余弦定理から、**(3)** は面積比と周長（内接円の半径）の関係式を利用してアプローチする。

解法1

**(1)**

$\triangle\text{ABC}$ は $\text{AB} = \text{AC}$ の二等辺三角形であるから、底角は等しく、

$$\angle\text{ACB} = \angle\text{ABC} = 72^\circ$$

よって、頂角は、

$$\angle\text{BAC} = 180^\circ - 2 \times 72^\circ = 36^\circ$$

線分 $\text{BD}$ は $\angle\text{ABC}$ の二等分線であるから、

$$\angle\text{ABD} = \angle\text{CBD} = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ$$

$\triangle\text{ABD}$ において、$\angle\text{DAB} = \angle\text{DBA} = 36^\circ$ となるため、$\triangle\text{ABD}$ は $\text{AD} = \text{BD}$ の二等辺三角形である。 また、$\triangle\text{CBD}$ において、三角形の内角の和より、

$$\angle\text{BDC} = 180^\circ - (\angle\text{BCD} + \angle\text{CBD}) = 180^\circ - (72^\circ + 36^\circ) = 72^\circ$$

$\angle\text{BCD} = 72^\circ$ であるから、$\angle\text{BCD} = \angle\text{BDC}$ となり、$\triangle\text{CBD}$ は $\text{BC} = \text{BD}$ の二等辺三角形である。 条件より $\text{BC} = 1$ であるから、$\text{BD} = 1$ となり、さらに $\text{AD} = \text{BD}$ より $\text{AD} = 1$ である。

次に、$\text{AC} = x \ (x > 0)$ とおく。 $\triangle\text{ABC}$ と $\triangle\text{BCD}$ において、

$$\angle\text{ACB} = \angle\text{BCD} \quad \text{（共通）}$$

$$\angle\text{BAC} = \angle\text{CBD} = 36^\circ$$

2組の角がそれぞれ等しいから、$\triangle\text{ABC} \sim \triangle\text{BCD}$ である。 相似な図形の対応する辺の比は等しいため、

$$\text{AB} : \text{BC} = \text{BC} : \text{CD}$$

ここで、$\text{AB} = \text{AC} = x$、$\text{BC} = 1$、$\text{CD} = \text{AC} - \text{AD} = x - 1$ であるから、

$$x : 1 = 1 : (x - 1)$$

$$x(x - 1) = 1$$

$$x^2 - x - 1 = 0$$

$x > 0$ であるから、これを解いて $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ となる。 したがって、$\text{AC} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ である。

**(2)**

頂点 $\text{A}$ から直線 $\text{BC}$ に垂線 $\text{AH}$ を下ろす。 $\triangle\text{ABC}$ は $\text{AB} = \text{AC}$ の二等辺三角形であるから、点 $\text{H}$ は辺 $\text{BC}$ の中点となり、

$$\text{BH} = \frac{1}{2} \text{BC} = \frac{1}{2}$$

直角三角形 $\text{ABH}$ において、$\angle\text{ABH} = 72^\circ$ であるから、

$$\cos 72^\circ = \frac{\text{BH}}{\text{AB}} = \frac{\frac{1}{2}}{x} = \frac{1}{2x}$$

**(1)** の結果より $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ であるから、

$$\cos 72^\circ = \frac{1}{2 \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{\sqrt{5} - 1}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$$

**(3)**

$\triangle\text{ABD}$ の面積を $S_1$、$\triangle\text{CBD}$ の面積を $S_2$ とする。 これらの三角形は頂点 $\text{B}$ から辺 $\text{AC}$ 上に下ろした垂線の長さ（高さ）が共通であるから、面積比は底辺の長さの比に等しい。

$$S_1 : S_2 = \text{AD} : \text{CD} = 1 : (x - 1)$$

よって、$\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{x - 1}$ である。 一方で、三角形の面積と内接円の半径の関係 $S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$ を用いると、面積は以下のように表せる。

$$S_1 = \frac{1}{2} r (\text{AB} + \text{BD} + \text{AD}) = \frac{1}{2} r (x + 1 + 1) = \frac{1}{2} r (x + 2)$$

$$S_2 = \frac{1}{2} s (\text{CB} + \text{BD} + \text{CD}) = \frac{1}{2} s (1 + 1 + x - 1) = \frac{1}{2} s (x + 1)$$

これらを面積比の式に代入すると、

$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2} r (x + 2)}{\frac{1}{2} s (x + 1)} = \frac{r(x + 2)}{s(x + 1)}$$

2つの比を等値して、

$$\frac{r(x + 2)}{s(x + 1)} = \frac{1}{x - 1}$$

$$\frac{r}{s} = \frac{x + 1}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{x + 1}{x^2 + x - 2}$$

ここで、**(1)** の方程式より $x^2 = x + 1$ であるから、分母は以下のように次数下げができる。

$$x^2 + x - 2 = (x + 1) + x - 2 = 2x - 1$$

よって、

$$\frac{r}{s} = \frac{x + 1}{2x - 1}$$

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ を代入すると、

$$x + 1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + 1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$$

$$2x - 1 = 2 \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right) - 1 = \sqrt{5}$$

したがって、求める値は、

$$\frac{r}{s} = \frac{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}{\sqrt{5}} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{5 + 3\sqrt{5}}{10}$$

解法2

**(1)の別解**

角の二等分線の性質を用いて辺の長さを求める。 線分 $\text{BD}$ は $\angle\text{ABC}$ の二等分線であるから、

$$\text{AD} : \text{CD} = \text{AB} : \text{BC}$$

$\text{AC} = \text{AB} = x \ (x > 0)$、$\text{BC} = 1$ とおくと、

$$\text{AD} : \text{CD} = x : 1$$

$\text{AD} + \text{CD} = \text{AC} = x$ であるから、$\text{AD}$ の長さは次のように表せる。

$$\text{AD} = \frac{x}{x + 1} \cdot x = \frac{x^2}{x + 1}$$

解法1と同様に角度を調べると、$\triangle\text{ABD}$ と $\triangle\text{CBD}$ はそれぞれ $\text{AD} = \text{BD}$、$\text{BC} = \text{BD}$ の二等辺三角形であることがわかる。 $\text{BC} = 1$ より $\text{BD} = 1$、したがって $\text{AD} = 1$ である。 先ほど求めた $\text{AD}$ の式と等値して、

$$\frac{x^2}{x + 1} = 1$$

$$x^2 - x - 1 = 0$$

$x > 0$ より $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ と求まる。

**(2)の別解**

$\triangle\text{ABC}$ において、余弦定理より、

$$\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 - 2\text{AB} \cdot \text{BC} \cos \angle\text{ABC}$$

$$x^2 = x^2 + 1^2 - 2x \cdot 1 \cdot \cos 72^\circ$$

$$2x \cos 72^\circ = 1$$

$$\cos 72^\circ = \frac{1}{2x}$$

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ を代入して、

$$\cos 72^\circ = \frac{1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$$

解説

頂角が $36^\circ$、底角が $72^\circ$ の二等辺三角形は「黄金三角形」と呼ばれ、入試数学において頻出の図形である。 角の二等分線を引くことで、自身と相似な三角形や、複数の二等辺三角形が内部に現れる性質を持つ。 この性質を利用して方程式を立てるのが定石であり、結果として現れる $x^2 - x - 1 = 0$ は黄金比を導く代表的な二次方程式である。 **(3)** では、内接円の半径を直接求めるのではなく、高さの等しい三角形の面積比と、公式 $S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$ を組み合わせて比のまま処理することで計算量を減らすことができる。 また、式中に $x^2$ が現れた際には、$x^2 = x + 1$ を用いて次数下げを行うと、その後の代入計算が安全かつスムーズに遂行できる。

答え

(1) $\text{AD} = 1$, $\text{AC} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

(2) $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$

(3) $\frac{r}{s} = \frac{5 + 3\sqrt{5}}{10}$