解説

方針・初手

正弦定理から三角形の3辺の長さの比を求め、最大辺に対する角が最大角である性質を利用する。その後、余弦定理を用いて最大の角の大きさを計算する。

解法1

正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ より、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$ が成り立つ。 与えられた条件 $\frac{\sin A}{\sqrt{7}} = \frac{\sin B}{\sqrt{3}} = \sin C$ は、次のように表すことができる。

$$\frac{\sin A}{\sqrt{7}} = \frac{\sin B}{\sqrt{3}} = \frac{\sin C}{1}$$

これより、$\sin A : \sin B : \sin C = \sqrt{7} : \sqrt{3} : 1$ となる。 したがって、三角形の3辺の長さの比は $a:b:c = \sqrt{7} : \sqrt{3} : 1$ である。 正の定数 $k$ を用いて、$a = \sqrt{7}k$、$b = \sqrt{3}k$、$c = k$ とおく。

三角形において、最大の辺に対する角が最大の角である。 $a, b, c$ のうち最大のものは $a = \sqrt{7}k$ であるから、最大の角は $A$ である。

余弦定理を用いて $\cos A$ を求める。

$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$

$$\cos A = \frac{(\sqrt{3}k)^2 + k^2 - (\sqrt{7}k)^2}{2 \cdot \sqrt{3}k \cdot k}$$

$$\cos A = \frac{3k^2 + k^2 - 7k^2}{2\sqrt{3}k^2}$$

$$\cos A = \frac{-3k^2}{2\sqrt{3}k^2}$$

$$\cos A = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

三角形の内角の条件 $0^\circ < A < 180^\circ$ より、これを満たす $A$ は以下のようになる。

$$A = 150^\circ$$

解説

正弦定理から導かれる「正弦の比は対辺の長さの比に等しい」という性質を利用する基本的な問題である。辺の長さの比が求まった後は、辺と角の大小関係（最大の辺に対する角が最大になる）を利用して求めるべき角を特定し、余弦定理を適用すればよい。辺の長さを文字 $k$ を用いて表すと論理的に正確だが、実際の計算上は比の値をそのまま辺の長さとして代入しても同じ結果が得られる。

答え

$150^\circ$