解説

方針・初手

円に内接する四角形の性質（対角の和が $180^\circ$）を利用し、対角線によって分割された2つの三角形に余弦定理を適用する。

正弦定理や面積公式を利用して順次値を求めていく。二重根号を外す計算が必要となるため、正確に処理を進めることが重要である。

解法1

**1. $\text{AC}$ の長さを求める**

円に内接する四角形の対角の和は $180^\circ$ であるから、$\angle\text{ADC} = 180^\circ - \theta$ である。

$\triangle\text{ABC}$ において余弦定理より

$$\text{AC}^2 = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{7} \cos\theta = 13 - 2\sqrt{42} \cos\theta$$

$\triangle\text{ADC}$ において余弦定理より

$$\text{AC}^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} \cos(180^\circ - \theta) = 3 + 2\sqrt{2} \cos\theta$$

この2つの式から $\text{AC}^2$ を消去して $\cos\theta$ を求める。

$$13 - 2\sqrt{42} \cos\theta = 3 + 2\sqrt{2} \cos\theta$$

$$10 = 2(\sqrt{42} + \sqrt{2}) \cos\theta$$

$$\cos\theta = \frac{5}{\sqrt{42} + \sqrt{2}} = \frac{5(\sqrt{42} - \sqrt{2})}{(\sqrt{42} + \sqrt{2})(\sqrt{42} - \sqrt{2})} = \frac{5(\sqrt{42} - \sqrt{2})}{40} = \frac{\sqrt{42} - \sqrt{2}}{8}$$

これを $\text{AC}^2$ を表す2つ目の式に代入する。

$$\text{AC}^2 = 3 + 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{42} - \sqrt{2}}{8} = 3 + \frac{\sqrt{84} - 2}{4} = 3 + \frac{2\sqrt{21} - 2}{4} = 3 + \frac{\sqrt{21} - 1}{2} = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}$$

これより、①$=5$、②$=21$ である。

さらに、$\text{AC} > 0$ より二重根号を外して $\text{AC}$ を求める。

$$\text{AC} = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{21}}{2}} = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{21}}}{2} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$$

これより、③$=\sqrt{7}$ である。

**2. $\sin^2\theta$ と外接円の半径を求める**

相互関係より $\sin^2\theta$ を計算する。

$$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \left(\frac{\sqrt{42} - \sqrt{2}}{8}\right)^2 = 1 - \frac{42 - 2\sqrt{84} + 2}{64} = 1 - \frac{44 - 4\sqrt{21}}{64} = 1 - \frac{11 - \sqrt{21}}{16} = \frac{5 + \sqrt{21}}{16}$$

これより、④$=\frac{5 + \sqrt{21}}{16}$ である。

ここで、先ほど求めた $\text{AC}^2 = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}$ と比較すると、以下の関係が成り立つ。

$$\sin^2\theta = \frac{1}{8} \cdot \frac{5 + \sqrt{21}}{2} = \frac{\text{AC}^2}{8}$$

これより、⑤$=8$ である。

$\triangle\text{ABC}$ の外接円は四角形 $\text{ABCD}$ の外接円に等しい。外接円の半径を $R$ とすると、正弦定理より

$$2R = \frac{\text{AC}}{\sin\theta}$$

両辺を2乗して変形する。

$$4R^2 = \frac{\text{AC}^2}{\sin^2\theta}$$

先ほどの関係式 $\frac{\text{AC}^2}{\sin^2\theta} = 8$ を代入する。

$$4R^2 = 8$$

$$R^2 = 2$$

$R > 0$ より $R = \sqrt{2}$ である。よって、⑥$=\sqrt{2}$ である。

**3. 四角形 $\text{ABCD}$ の面積を求める**

四角形 $\text{ABCD}$ の面積を $S$ とおくと、$S = \triangle\text{ABC} + \triangle\text{ADC}$ である。

$$S = \frac{1}{2} \cdot \text{AB} \cdot \text{BC} \sin\theta + \frac{1}{2} \cdot \text{AD} \cdot \text{CD} \sin(180^\circ - \theta)$$

$$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{7} \sin\theta + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{2} \sin\theta = \frac{\sqrt{42} + \sqrt{2}}{2} \sin\theta$$

ここで $0^\circ < \theta < 180^\circ$ より $\sin\theta > 0$ であるから、

$$\sin\theta = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{21}}{16}} = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{21}}}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{4\sqrt{2}}$$

これを $S$ の式に代入する。

$$S = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{21} + 1)}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{4\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{21} + 1)(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{8} = \frac{3\sqrt{7} + 7\sqrt{3} + \sqrt{7} + \sqrt{3}}{8} = \frac{8\sqrt{3} + 4\sqrt{7}}{8} = \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{7}}{2}$$

これより、⑦$=\frac{2\sqrt{3} + \sqrt{7}}{2}$ である。

解説

円に内接する四角形の計量における典型的な問題である。

対角線によって四角形を2つの三角形に分け、それぞれに余弦定理を適用して方程式を立てるのが定石となる。

途中、二重根号を外す処理や、誘導に乗って $\frac{\text{AC}^2}{\sin^2\theta}$ の値を導き正弦定理に繋げる工夫が必要であり、計算力と思考力の両方が問われる良問である。

答え

①：$5$

②：$21$

③：$\sqrt{7}$

④：$\frac{5 + \sqrt{21}}{16}$

⑤：$8$

⑥：$\sqrt{2}$

⑦：$\frac{2\sqrt{3} + \sqrt{7}}{2}$