解説

方針・初手

与えられた辺の長さと「角の二等分線」「等しい線分（二等辺三角形）」の条件をいかに数式に落とし込むかが問われている。 角を文字でおいて三角比（正弦定理や倍角・三倍角の公式）を用いるアプローチ、等しい角に注目して図形の相似を見出すアプローチ、線分の長さを文字でおいて余弦定理を複数回用いるアプローチなどが考えられる。どの手法を選択しても、最終的には $\triangle \text{ABC}$ のすべての辺の長さや角の大きさが決定され、面積を求めることができる。

解法1

$\angle \text{BAD} = \angle \text{CAD} = \theta$ とおく。

条件 $\text{AD} = \text{BD}$ より、$\triangle \text{ABD}$ は二等辺三角形であるから、底角は等しく $\angle \text{ABC} = \angle \text{BAD} = \theta$ である。

$\triangle \text{ABC}$ の内角の和は $180^\circ$ であるから、

$$ \angle \text{C} = 180^\circ - (\angle \text{BAC} + \angle \text{ABC}) = 180^\circ - 3\theta $$

$\triangle \text{ABC}$ において正弦定理を用いると、

$$ \frac{\text{AB}}{\sin C} = \frac{\text{AC}}{\sin B} $$

$$ \frac{2}{\sin(180^\circ - 3\theta)} = \frac{1}{\sin \theta} $$

$\sin(180^\circ - 3\theta) = \sin 3\theta$ であるから、

$$ \sin 3\theta = 2\sin \theta $$

ここで3倍角の公式 $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ を用いると、

$$ 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta = 2\sin \theta $$

$$ \sin \theta (1 - 4\sin^2 \theta) = 0 $$

$\triangle \text{ABC}$ の内角の条件から $0^\circ < 3\theta < 180^\circ$、すなわち $0^\circ < \theta < 60^\circ$ であるため、$\sin \theta > 0$ となる。 したがって、

$$ 1 - 4\sin^2 \theta = 0 $$

$$ \sin \theta = \frac{1}{2} $$

$0^\circ < \theta < 60^\circ$ より、$\theta = 30^\circ$ を得る。 これにより、$\angle \text{BAC} = 2\theta = 60^\circ$ であると分かる。

求める $\triangle \text{ABC}$ の面積を $S$ とすると、

$$ S = \frac{1}{2} \cdot \text{AB} \cdot \text{AC} \cdot \sin \angle \text{BAC} $$

$$ S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

解法2

$\angle \text{BAD} = \angle \text{CAD} = \theta$ とおく。

$\text{AD} = \text{BD}$ より $\triangle \text{ABD}$ は二等辺三角形であるから、$\angle \text{ABC} = \theta$ である。

ここで、$\triangle \text{ABC}$ と $\triangle \text{DAC}$ に着目する。 $\angle \text{ABC} = \angle \text{DAC} = \theta$ であり、また $\angle \text{C}$ は共通である。 2組の角がそれぞれ等しいので、$\triangle \text{ABC} \sim \triangle \text{DAC}$ となる。

相似な図形では対応する辺の比が等しいので、

$$ \text{BC} : \text{AC} = \text{AC} : \text{DC} $$

$$ \text{BC} \cdot \text{DC} = \text{AC}^2 $$

$\text{AC} = 1$ を代入すると、$\text{BC} \cdot \text{DC} = 1$ を得る。

一方で、$\text{AD}$ は $\angle \text{A}$ の二等分線であるから、角の二等分線の定理より、

$$ \text{BD} : \text{DC} = \text{AB} : \text{AC} = 2 : 1 $$

したがって、$\text{BC} = \text{BD} + \text{DC} = 3\text{DC}$ となり、$\text{DC} = \frac{1}{3}\text{BC}$ と表せる。 これを先ほどの式に代入すると、

$$ \text{BC} \cdot \frac{1}{3}\text{BC} = 1 $$

$$ \text{BC}^2 = 3 $$

$\text{BC} > 0$ より $\text{BC} = \sqrt{3}$ である。

$\triangle \text{ABC}$ の3辺の長さは $\text{AB} = 2$、$\text{AC} = 1$、$\text{BC} = \sqrt{3}$ となり、

$$ \text{AC}^2 + \text{BC}^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 = \text{AB}^2 $$

を満たす。三平方の定理の逆より、$\triangle \text{ABC}$ は $\angle \text{C} = 90^\circ$ の直角三角形である。

よって、$\triangle \text{ABC}$ の面積 $S$ は、

$$ S = \frac{1}{2} \cdot \text{AC} \cdot \text{BC} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

解法3

$\text{BC} = a$ とおく。 $\text{AD}$ は $\angle \text{BAC}$ の二等分線であるから、$\text{BD} : \text{DC} = \text{AB} : \text{AC} = 2 : 1$ となる。 したがって、

$$ \text{BD} = \frac{2}{3}a, \quad \text{DC} = \frac{1}{3}a $$

と表せる。条件 $\text{AD} = \text{BD}$ より、$\text{AD} = \frac{2}{3}a$ である。

$\triangle \text{ADC}$ において余弦定理を用いると、

$$ \text{AD}^2 = \text{AC}^2 + \text{DC}^2 - 2 \cdot \text{AC} \cdot \text{DC} \cos C $$

$$ \left( \frac{2}{3}a \right)^2 = 1^2 + \left( \frac{1}{3}a \right)^2 - 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{3}a \cos C $$

$$ \frac{4}{9}a^2 = 1 + \frac{1}{9}a^2 - \frac{2}{3}a \cos C $$

$$ \frac{2}{3}a \cos C = 1 - \frac{1}{3}a^2 \quad \dots \text{(i)} $$

次に、$\triangle \text{ABC}$ において余弦定理を用いると、

$$ \text{AB}^2 = \text{AC}^2 + \text{BC}^2 - 2 \cdot \text{AC} \cdot \text{BC} \cos C $$

$$ 2^2 = 1^2 + a^2 - 2 \cdot 1 \cdot a \cos C $$

$$ 4 = 1 + a^2 - 2a \cos C $$

$$ 2a \cos C = a^2 - 3 \quad \dots \text{(ii)} $$

(i) の両辺を3倍すると、$2a \cos C = 3 - a^2$ となる。 これを (ii) と連立して、

$$ a^2 - 3 = 3 - a^2 $$

$$ 2a^2 = 6 $$

$a > 0$ より $a = \sqrt{3}$、すなわち $\text{BC} = \sqrt{3}$ を得る。

(ii) に $a = \sqrt{3}$ を代入すると、

$$ 2\sqrt{3} \cos C = 3 - 3 = 0 $$

よって $\cos C = 0$ となり、$\angle \text{C} = 90^\circ$ の直角三角形であることが分かる。

ゆえに、$\triangle \text{ABC}$ の面積 $S$ は、

$$ S = \frac{1}{2} \cdot \text{AC} \cdot \text{BC} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

解説

平面図形の性質をどのように立式するかが鍵となる問題である。 解法1のように角度を文字でおいて代数的に処理する（3倍角の公式などを用いる）方法と、解法2のように図形の相似関係に気づいて幾何的に処理する方法がある。どちらも行き詰まることなく解答にたどり着けるが、相似に気づくことができれば解法2が最も計算負担が少ない。 また、図形問題の定石である「余弦定理を複数回用いて未知数を求める」アプローチ（解法3）でも素直に答えを導くことが可能であり、汎用性が高い解法である。どの解法を選んでも最終的に $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ の見慣れた直角三角形に行き着くため、検算もしやすい。

答え

$\frac{\sqrt{3}}{2}$