解説

方針・初手

与えられた角度の条件から、三角形の相似関係を見抜くことが最初のステップである。三角形の外角の定理を用いて $\angle \mathrm{APC}$ の大きさを求めると、$\triangle \mathrm{ABC}$ と $\triangle \mathrm{PAC}$ が相似であることがわかる。この相似関係と、余弦定理で求めた $\mathrm{BC}$ の長さを利用して、残りの線分の長さや面積を効率よく求めていく。

解法1

$\triangle \mathrm{ABP}$ において、外角の定理より

$$ \angle \mathrm{APC} = \angle \mathrm{ABP} + \angle \mathrm{BAP} $$

が成り立つ。ここで、問題の条件 $\angle \mathrm{CAP} = \angle \mathrm{ABP}$ を用いると、

$$ \angle \mathrm{APC} = \angle \mathrm{CAP} + \angle \mathrm{BAP} = \angle \mathrm{BAC} $$

となる。条件より $\angle \mathrm{BAC} = \angle \mathrm{A} = 60^\circ$ であるから、

$$ \angle \mathrm{APC} = 60^\circ $$

である。

次に、$\triangle \mathrm{ABC}$ において余弦定理を用いると、

$$ \mathrm{BC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 - 2 \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC} \cos 60^\circ $$

$$ \mathrm{BC}^2 = 1^2 + x^2 - 2 \cdot 1 \cdot x \cdot \frac{1}{2} = x^2 - x + 1 $$

$\mathrm{BC} > 0$ であるから、

$$ \mathrm{BC} = \sqrt{x^2 - x + 1} $$

である。

続いて、$\triangle \mathrm{ABC}$ と $\triangle \mathrm{PAC}$ に着目する。 $\angle \mathrm{C}$ は共通であり、先ほど求めたように $\angle \mathrm{BAC} = \angle \mathrm{APC} = 60^\circ$ であるから、2組の角がそれぞれ等しい。 よって、

$$ \triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{PAC} $$

が成り立つ。相似な図形では対応する辺の長さの比が等しいので、$\mathrm{AC} : \mathrm{PC} = \mathrm{BC} : \mathrm{AC} = \mathrm{AB} : \mathrm{PA}$ すなわち、

$$ x : \mathrm{CP} = \sqrt{x^2 - x + 1} : x = 1 : \mathrm{AP} $$

となる。これより、

$$ \mathrm{CP} = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - x + 1}} $$

$$ \mathrm{AP} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - x + 1}} $$

である。

最後に、$\triangle \mathrm{APB}$ の面積 $S$ を求める。$\triangle \mathrm{ABC}$ の面積は、

$$ \triangle \mathrm{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC} \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}x $$

である。点 $\mathrm{P}$ は辺 $\mathrm{BC}$ 上にあるため、$\triangle \mathrm{APB}$ と $\triangle \mathrm{ABC}$ の面積比は底辺 $\mathrm{BP}$ と $\mathrm{BC}$ の長さの比に等しい。 線分 $\mathrm{BP}$ の長さは、

$$ \mathrm{BP} = \mathrm{BC} - \mathrm{CP} = \sqrt{x^2 - x + 1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - x + 1}} = \frac{(x^2 - x + 1) - x^2}{\sqrt{x^2 - x + 1}} = \frac{1 - x}{\sqrt{x^2 - x + 1}} $$

であるから、面積 $S$ は

$$ S = \triangle \mathrm{ABC} \times \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{BC}} = \frac{\sqrt{3}}{4}x \times \frac{1 - x}{\sqrt{x^2 - x + 1}} \times \frac{1}{\sqrt{x^2 - x + 1}} = \frac{\sqrt{3}x(1 - x)}{4(x^2 - x + 1)} $$

となる。

解法2

面積 $S$ を求める過程において、相似な図形の面積比を用いる別解を示す。

$\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{PAC}$ であり、その相似比は $\mathrm{BC} : \mathrm{AC} = \sqrt{x^2 - x + 1} : x$ である。 したがって、面積比は相似比の2乗に等しく、

$$ \triangle \mathrm{PAC} = \triangle \mathrm{ABC} \times \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 - x + 1}} \right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}x \cdot \frac{x^2}{x^2 - x + 1} = \frac{\sqrt{3}x^3}{4(x^2 - x + 1)} $$

となる。求める面積 $S$ は $\triangle \mathrm{ABC}$ の面積から $\triangle \mathrm{PAC}$ の面積を引いたものであるから、

$$ S = \triangle \mathrm{ABC} - \triangle \mathrm{PAC} = \frac{\sqrt{3}}{4}x - \frac{\sqrt{3}x^3}{4(x^2 - x + 1)} $$

$$ S = \frac{\sqrt{3}}{4}x \left( 1 - \frac{x^2}{x^2 - x + 1} \right) = \frac{\sqrt{3}x}{4} \cdot \frac{x^2 - x + 1 - x^2}{x^2 - x + 1} = \frac{\sqrt{3}x(1 - x)}{4(x^2 - x + 1)} $$

と計算できる。

解説

図形の性質を用いて計算量を減らす典型的な問題である。$\angle \mathrm{CAP} = \angle \mathrm{ABP}$ という一見扱いづらい条件が、外角の定理を介して $\angle \mathrm{APC} = 60^\circ$ という強力な条件に化けることに気づけるかが最大のポイントとなる。これにより三角形の相似が導かれ、各線分の長さがスムーズに求まる。面積計算においても、底辺の比を利用するか、相似比の2乗を利用するかで複数のアプローチが可能であり、いずれも正確な代数計算の力が試される。

答え

[ア] $60^\circ$

[イ] $\sqrt{x^2 - x + 1}$

[ウ] $\frac{x^2}{\sqrt{x^2 - x + 1}}$

[エ] $\frac{x}{\sqrt{x^2 - x + 1}}$

[オ] $\frac{\sqrt{3}x(1 - x)}{4(x^2 - x + 1)}$