解説

方針・初手

円に内接する四角形の性質（対角の和が $180^\circ$）と余弦定理、三角形の面積公式を用いて各値を求めていく。 (1)と(2)は対角線ACを引くことで $\triangle ABC$ と $\triangle ADC$ に分け、それぞれに定理を適用する標準的な流れである。 (3)は四角形を対角線BDで分割した $\triangle ABD$ と $\triangle BCD$ に注目し、$\angle A + \angle C = 180^\circ$ であることから両者の面積比を利用すると計算が簡略化される。 (4)は(3)で考えた $\triangle ABD$ と $\triangle BCD$ にそれぞれ余弦定理を適用し、$\cos \angle A = -\cos \angle C$ の関係を用いて方程式を立てる。

解法1

**(1)**

四角形ABCDは円に内接するので、向かい合う角の和は $180^\circ$ である。したがって、

$$ \angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $$

である。

$\triangle ABC$ において、余弦定理により

$$ \begin{aligned} AC^2 &= AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cos 60^\circ \\ &= 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 25 + 9 - 15 \\ &= 19 \end{aligned} $$

となる。

次に、$\triangle ADC$ において余弦定理を用いる。$CD = x$ ($x > 0$) とおくと、

$$ \begin{aligned} AC^2 &= AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cos 120^\circ \\ 19 &= 2^2 + x^2 - 2 \cdot 2 \cdot x \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \\ 19 &= 4 + x^2 + 2x \\ x^2 + 2x - 15 &= 0 \\ (x + 5)(x - 3) &= 0 \end{aligned} $$

$x > 0$ であるから、$x = 3$ となる。 したがって、$CD = 3$ である。

**(2)**

四角形ABCDの面積は、$\triangle ABC$ と $\triangle ADC$ の面積の和である。

$$ \begin{aligned} \triangle ABC &= \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \sin 60^\circ \\ &= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= \frac{15\sqrt{3}}{4} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \triangle ADC &= \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \sin 120^\circ \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= \frac{3\sqrt{3}}{2} \\ &= \frac{6\sqrt{3}}{4} \end{aligned} $$

よって、四角形ABCDの面積を $S$ とすると、

$$ S = \triangle ABC + \triangle ADC = \frac{15\sqrt{3}}{4} + \frac{6\sqrt{3}}{4} = \frac{21\sqrt{3}}{4} $$

である。

**(3)**

四角形を対角線BDで分割した $\triangle ABD$ と $\triangle BCD$ について考える。 四角形ABCDは円に内接するため、$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$ であり、$\sin \angle BAD = \sin \angle BCD$ が成り立つ。 両者の面積比は、

$$ \begin{aligned} \triangle ABD : \triangle BCD &= \left( \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \sin \angle BAD \right) : \left( \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \sin \angle BCD \right) \\ &= (5 \cdot 2) : (3 \cdot 3) \\ &= 10 : 9 \end{aligned} $$

となる。

(2)より $\triangle ABD + \triangle BCD = \frac{21\sqrt{3}}{4}$ であるから、

$$ \begin{aligned} \triangle BCD &= \frac{21\sqrt{3}}{4} \times \frac{9}{10 + 9} \\ &= \frac{21\sqrt{3}}{4} \times \frac{9}{19} \\ &= \frac{189\sqrt{3}}{76} \end{aligned} $$

である。

**(4)**

$\angle BCD = C$ とおく。四角形ABCDは円に内接するため、$\angle BAD = 180^\circ - C$ である。 $\triangle BCD$ において、余弦定理より

$$ \begin{aligned} BD^2 &= BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cos C \\ &= 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cos C \\ &= 18 - 18 \cos C \quad \cdots \text{①} \end{aligned} $$

となる。

一方、$\triangle ABD$ において、余弦定理より

$$ \begin{aligned} BD^2 &= AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cos(180^\circ - C) \\ &= 5^2 + 2^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2 (-\cos C) \\ &= 29 + 20 \cos C \quad \cdots \text{②} \end{aligned} $$

となる。

①、②より、

$$ 18 - 18 \cos C = 29 + 20 \cos C $$

$$ -38 \cos C = 11 $$

$$ \cos C = -\frac{11}{38} $$

これを①に代入して、

$$ \begin{aligned} BD^2 &= 18 - 18 \left(-\frac{11}{38}\right) \\ &= 18 + \frac{99}{19} \\ &= \frac{342 + 99}{19} \\ &= \frac{441}{19} \end{aligned} $$

$BD > 0$ より、

$$ BD = \frac{21}{\sqrt{19}} = \frac{21\sqrt{19}}{19} $$

である。

解説

円に内接する四角形の計量問題の典型である。(1)、(2)は対角線による分割で基本的な定理を当てはめるだけで完答できる。(3)は面積比の性質 $\triangle ABD : \triangle BCD = (AB \cdot AD) : (BC \cdot CD)$ を利用すると計算が非常に楽になる。このテクニックは頻出であるため押さえておきたい。(4)は対角線BDを求めるために、(3)で利用した2つの三角形にそれぞれ余弦定理を適用し、方程式を立てて余弦の値を求める定石通りである。

答え

(1) $3$

(2) $\frac{21\sqrt{3}}{4}$

(3) $\frac{189\sqrt{3}}{76}$

(4) $\frac{21\sqrt{19}}{19}$