解説

方針・初手

線分 $\text{AD}$ は $\angle \text{A}$ の二等分線であるから、角の二等分線の定理 $\text{AB}:\text{AC} = \text{BD}:\text{DC}$ を用いて、点 $\text{D}$ が辺 $\text{BC}$ をどのような比に内分するかを求めることが第一歩となる。 その後、$\triangle \text{ABC}$ において余弦定理を用いて $\cos B$ または $\cos C$ を求め、再び $\triangle \text{ABD}$ または $\triangle \text{ACD}$ に余弦定理を適用して $\text{AD}$ の長さを求めるのが最も標準的な解法である。 他にも、図形的な性質（相似と方べきの定理）を利用する解法や、ベクトルを用いる解法などが考えられる。

解法1

$\text{AD}$ は $\angle \text{A}$ の二等分線であるから、角の二等分線の定理より以下の比が成り立つ。

$$ \text{BD} : \text{DC} = \text{AB} : \text{AC} = 12 : 10 = 6 : 5 $$

点 $\text{D}$ は辺 $\text{BC}$ 上にあるため、$\text{BD}$ の長さは次のように求まる。

$$ \text{BD} = \text{BC} \times \frac{6}{6 + 5} = 11 \times \frac{6}{11} = 6 $$

次に、$\triangle \text{ABC}$ において余弦定理を適用し、$\cos B$ を求める。

$$ \begin{aligned} \cos B &= \frac{\text{AB}^2 + \text{BC}^2 - \text{CA}^2}{2 \cdot \text{AB} \cdot \text{BC}} \\ &= \frac{12^2 + 11^2 - 10^2}{2 \cdot 12 \cdot 11} \\ &= \frac{144 + 121 - 100}{264} \\ &= \frac{165}{264} \\ &= \frac{5}{8} \end{aligned} $$

続いて、$\triangle \text{ABD}$ において余弦定理を適用し、$\text{AD}^2$ を求める。

$$ \begin{aligned} \text{AD}^2 &= \text{AB}^2 + \text{BD}^2 - 2 \cdot \text{AB} \cdot \text{BD} \cos B \\ &= 12^2 + 6^2 - 2 \cdot 12 \cdot 6 \cdot \frac{5}{8} \\ &= 144 + 36 - 144 \cdot \frac{5}{8} \\ &= 180 - 90 \\ &= 90 \end{aligned} $$

$\text{AD} > 0$ であるから、求める線分 $\text{AD}$ の長さは以下のようになる。

$$ \text{AD} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} $$

解法2

図形の性質（相似と方べきの定理）を用いた解法を示す。

$\triangle \text{ABC}$ の外接円を描き、直線 $\text{AD}$ と外接円との交点のうち、$\text{A}$ でない方を $\text{E}$ とする。 $\triangle \text{ABD}$ と $\triangle \text{AEC}$ において、$\text{AD}$ は $\angle \text{A}$ の二等分線であるから、以下の角が等しい。

$$ \angle \text{BAD} = \angle \text{CAE} $$

また、弧 $\text{AC}$ に対する円周角は等しいから、以下の角も等しい。

$$ \angle \text{ABD} = \angle \text{AEC} $$

2組の角がそれぞれ等しいので、$\triangle \text{ABD} \sim \triangle \text{AEC}$ である。 相似な図形の対応する辺の比は等しいため、以下の関係が成り立つ。

$$ \text{AB} : \text{AE} = \text{AD} : \text{AC} $$

これを変形すると、次式が得られる。

$$ \text{AB} \cdot \text{AC} = \text{AD} \cdot \text{AE} $$

ここで、$\text{AE} = \text{AD} + \text{DE}$ であるから、代入して展開する。

$$ \begin{aligned} \text{AB} \cdot \text{AC} &= \text{AD}(\text{AD} + \text{DE}) \\ &= \text{AD}^2 + \text{AD} \cdot \text{DE} \end{aligned} $$

また、円における方べきの定理より、弦 $\text{BC}$ と弦 $\text{AE}$ の交点 $\text{D}$ について以下の関係が成り立つ。

$$ \text{AD} \cdot \text{DE} = \text{BD} \cdot \text{DC} $$

これを先ほどの式に代入すると、角の二等分線の長さに関する有名な公式が導かれる。

$$ \text{AB} \cdot \text{AC} = \text{AD}^2 + \text{BD} \cdot \text{DC} $$

$$ \text{AD}^2 = \text{AB} \cdot \text{AC} - \text{BD} \cdot \text{DC} $$

解法1と同様に $\text{BD} = 6, \text{DC} = 5$ であり、$\text{AB} = 12, \text{AC} = 10$ を代入して $\text{AD}^2$ を計算する。

$$ \begin{aligned} \text{AD}^2 &= 12 \cdot 10 - 6 \cdot 5 \\ &= 120 - 30 \\ &= 90 \end{aligned} $$

$\text{AD} > 0$ より、求める長さは以下の通りとなる。

$$ \text{AD} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} $$

解法3

ベクトルを用いた解法を示す。 $\vec{b} = \vec{\text{AB}}, \vec{c} = \vec{\text{AC}}$ とおく。 与えられた条件より、各ベクトルの大きさは以下のようになる。

$$ |\vec{b}| = 12, \quad |\vec{c}| = 10, \quad |\vec{c} - \vec{b}| = 11 $$

$|\vec{c} - \vec{b}|^2 = 11^2$ の両辺を展開し、内積 $\vec{b} \cdot \vec{c}$ を求める。

$$ \begin{aligned} |\vec{c}|^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c} + |\vec{b}|^2 &= 121 \\ 10^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c} + 12^2 &= 121 \\ 100 - 2\vec{b} \cdot \vec{c} + 144 &= 121 \\ 2\vec{b} \cdot \vec{c} &= 244 - 121 \\ \vec{b} \cdot \vec{c} &= \frac{123}{2} \end{aligned} $$

点 $\text{D}$ は辺 $\text{BC}$ を $6 : 5$ に内分する点であるから、$\vec{\text{AD}}$ は以下のように表される。

$$ \vec{\text{AD}} = \frac{5\vec{b} + 6\vec{c}}{11} $$

このベクトルの大きさの2乗を計算する。

$$ \begin{aligned} |\vec{\text{AD}}|^2 &= \left| \frac{5\vec{b} + 6\vec{c}}{11} \right|^2 \\ &= \frac{1}{121} (25|\vec{b}|^2 + 60\vec{b} \cdot \vec{c} + 36|\vec{c}|^2) \\ &= \frac{1}{121} \left( 25 \cdot 144 + 60 \cdot \frac{123}{2} + 36 \cdot 100 \right) \\ &= \frac{1}{121} (3600 + 3690 + 3600) \\ &= \frac{10890}{121} \\ &= 90 \end{aligned} $$

$|\vec{\text{AD}}| > 0$ より、線分 $\text{AD}$ の長さは以下の通りとなる。

$$ \text{AD} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} $$

解説

角の二等分線の長さに関する非常に典型的な問題である。解法1で示した「全体で余弦定理を用いた後、小さな三角形で再度余弦定理を用いる」方針が王道であり、計算ミスに注意すれば確実に完答できる。 解法2で導出した関係式 $\text{AD}^2 = \text{AB} \cdot \text{AC} - \text{BD} \cdot \text{DC}$ は、角の二等分線の長さを求める公式として有用である。記述式の試験で無証明で用いるのは避けた方が無難であるが、検算ツールとして強力であるため、導出過程を含めて覚えておく価値がある。 解法3のベクトルによる処理も、図形の性質に頼らず機械的な計算で答えに至ることができるため、有効なアプローチである。

答え

$3\sqrt{10}$