解説

方針・初手

• (1)、(2) は、円の中心を頂点とし、正 $n$ 角形の $1$ 辺を底辺とする二等辺三角形を取り出して考える。頂角から底辺に垂線を下ろすことで直角三角形を作り、三角比を用いて辺の長さを表す。
• (3) は、内接する正 $5$ 角形の面積を $s_5$ や $r$ と三角比を用いて表し、与えられた近似値を用いて計算する。

解法1

**(1)** 円 $C$ の中心を $\text{O}$、内接する正 $n$ 角形の隣り合う $2$ つの頂点を $\text{A}, \text{B}$ とする。 三角形 $\text{OAB}$ は $\text{OA} = \text{OB} = r$ の二等辺三角形であり、$\angle\text{AOB} = \frac{2\pi}{n}$ である。 $\text{O}$ から直線 $\text{AB}$ に垂線 $\text{OH}$ を下ろすと、$\text{H}$ は線分 $\text{AB}$ の中点となり、$\angle\text{AOH} = \frac{\pi}{n}$ である。

直角三角形 $\text{OAH}$ において、

$$ \text{AH} = \text{OA} \sin \angle\text{AOH} = r \sin \frac{\pi}{n} $$

正 $n$ 角形の $1$ 辺の長さは $s_n = \text{AB} = 2\text{AH}$ であるから、

$$ s_n = 2r \sin \frac{\pi}{n} $$

**(2)** 円 $C$ の中心を $\text{O}$、外接する正 $n$ 角形の隣り合う $2$ つの頂点を $\text{C}, \text{D}$ とし、辺 $\text{CD}$ と円 $C$ の接点を $\text{I}$ とする。 三角形 $\text{OCD}$ は $\text{OC} = \text{OD}$ の二等辺三角形であり、$\angle\text{COD} = \frac{2\pi}{n}$ である。 また、線分 $\text{OI}$ は円の半径であるから $\text{OI} = r$ であり、$\text{OI} \perp \text{CD}$ となる。

したがって、直角三角形 $\text{OCI}$ において、$\angle\text{COI} = \frac{\pi}{n}$ であり、

$$ \text{CI} = \text{OI} \tan \angle\text{COI} = r \tan \frac{\pi}{n} $$

正 $n$ 角形の $1$ 辺の長さは $t_n = \text{CD} = 2\text{CI}$ であるから、

$$ t_n = 2r \tan \frac{\pi}{n} $$

これと (1) の結果より、

$$ \frac{s_n}{t_n} = \frac{2r \sin \frac{\pi}{n}}{2r \tan \frac{\pi}{n}} = \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{\frac{\sin \frac{\pi}{n}}{\cos \frac{\pi}{n}}} = \cos \frac{\pi}{n} $$

**(3)** $n=5$ のとき、(1) より $s_5 = 2r \sin \frac{\pi}{5}$ である。 $s_5 = 2$ より、

$$ 2r \sin \frac{\pi}{5} = 2 \iff r \sin \frac{\pi}{5} = 1 $$

円 $C$ に内接する正 $5$ 角形の面積を $S$ とすると、$S$ は (1) の三角形 $\text{OAB}$ （$n=5$ の場合）の面積の $5$ 倍である。 三角形 $\text{OAB}$ の底辺は $s_5 = 2$、高さは $\text{OH} = r \cos \frac{\pi}{5}$ であるから、

$$ S = 5 \times \left( \frac{1}{2} \cdot s_5 \cdot r \cos \frac{\pi}{5} \right) = 5 \times \left( \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot r \cos \frac{\pi}{5} \right) = 5r \cos \frac{\pi}{5} $$

ここで、$r \sin \frac{\pi}{5} = 1$ より $r = \frac{1}{\sin \frac{\pi}{5}}$ であるから、これを代入して、

$$ S = 5 \cdot \frac{1}{\sin \frac{\pi}{5}} \cdot \cos \frac{\pi}{5} = \frac{5}{\tan \frac{\pi}{5}} $$

$\frac{\pi}{5} = 36^\circ$ であり、$\tan 36^\circ = 0.727$ としてよいので、

$$ S = \frac{5}{0.727} = 6.8775... $$

小数第 $3$ 位を四捨五入して小数第 $2$ 位まで求めると、$6.88$ となる。

解説

• 図形的な考察から三角比を用いて辺の長さを表す基本的な問題である。円の中心から各頂点および各辺への垂線を引くことで直角三角形を作り出すことが定石である。
• (2) では $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を用いることで簡潔に比を計算できる。
• (3) では、面積 $S$ を $r$ と $\theta$ の式で表した後、$r$ を消去して $\tan 36^\circ$ の形を作り出すと計算がスムーズである。小数の割り算は計算ミスに注意して丁寧に行う必要がある。

答え

(1) $s_n = 2r \sin \frac{\pi}{n}$

(2) $\frac{s_n}{t_n} = \cos \frac{\pi}{n}$

(3) $6.88$