解説

方針・初手

与えられた条件から、正弦定理を用いて辺 $\text{BC}$ の長さを求めることができる。また、三角形の面積の公式と余弦定理を組み合わせることで、残りの2辺に関する連立方程式を導くことができる。 図形的に角度に着目し、正弦定理を用いて辺の長さを角の正弦（サイン）で表し、積和の公式や加法定理を利用するアプローチも計算を簡略化するうえで有効である。ここではこの2つの解法を示す。

解法1

$\text{BC}=a$、$\text{CA}=b$、$\text{AB}=c$ とする。 外接円の半径 $R=1$ であり、正弦定理より

$$ \frac{a}{\sin A} = 2R $$

$\angle\text{BAC} = 60^\circ$ を代入して、

$$ a = 2 \cdot 1 \cdot \sin 60^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} $$

三角形 $\text{ABC}$ の面積が $\frac{3+\sqrt{3}}{4}$ であることから、

$$ \frac{1}{2}bc \sin 60^\circ = \frac{3+\sqrt{3}}{4} $$

$$ \frac{\sqrt{3}}{4}bc = \frac{3+\sqrt{3}}{4} $$

これを解いて、

$$ bc = \frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}+1 $$

次に、余弦定理を用いて $b$ と $c$ の関係式を導く。

$$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos 60^\circ $$

$a = \sqrt{3}$ と $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ を代入して整理すると、

$$ 3 = b^2 + c^2 - bc $$

$$ b^2 + c^2 = 3 + bc = 3 + (\sqrt{3}+1) = 4 + \sqrt{3} $$

ここで、和の平方と差の平方をそれぞれ計算する。

$$ \begin{aligned} (c+b)^2 &= b^2 + c^2 + 2bc \\ &= (4+\sqrt{3}) + 2(\sqrt{3}+1) \\ &= 6 + 3\sqrt{3} \\ &= 3(2+\sqrt{3}) \\ &= \frac{3(4+2\sqrt{3})}{2} \\ &= \frac{3}{2}(\sqrt{3}+1)^2 \end{aligned} $$

$b+c > 0$ であるから、

$$ b+c = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2} $$

同様に、差の平方を計算する。

$$ \begin{aligned} (c-b)^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \\ &= (4+\sqrt{3}) - 2(\sqrt{3}+1) \\ &= 2 - \sqrt{3} \\ &= \frac{4-2\sqrt{3}}{2} \\ &= \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2} \end{aligned} $$

条件 $\text{AB} > \text{AC}$ より $c > b$ であるから、$c-b > 0$ となり、

$$ c-b = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} $$

得られた2式を連立する。

$$ \begin{cases} c+b = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2} \\ c-b = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \end{cases} $$

2式を辺々加えて、

$$ 2c = \sqrt{6} + \sqrt{2} \iff c = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} $$

第1式から第2式を引いて、

$$ 2b = 2\sqrt{2} \iff b = \sqrt{2} $$

以上より、$\text{BC} = \sqrt{3}$、$\text{CA} = \sqrt{2}$、$\text{AB} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$ となる。

解法2

$\text{BC}=a$、$\text{CA}=b$、$\text{AB}=c$ とする。 解法1と同様に正弦定理より、

$$ a = 2 \cdot 1 \cdot \sin 60^\circ = \sqrt{3} $$

また、$\angle\text{BAC} = 60^\circ$ であるから、三角形の内角の和より、

$$ \angle\text{B} + \angle\text{C} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $$

正弦定理より、$b = 2 \sin B$、$c = 2 \sin C$ と表せる。 面積の条件より、

$$ \frac{1}{2}bc \sin 60^\circ = \frac{3+\sqrt{3}}{4} $$

これに $b$ と $c$ を代入すると、

$$ \frac{1}{2} (2 \sin B)(2 \sin C) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3+\sqrt{3}}{4} $$

$$ \sqrt{3} \sin B \sin C = \frac{3+\sqrt{3}}{4} $$

$$ \sin B \sin C = \frac{\sqrt{3}+1}{4} $$

ここで、三角関数の積和の公式を用いる。

$$ -\frac{1}{2} \{ \cos(B+C) - \cos(B-C) \} = \frac{\sqrt{3}+1}{4} $$

$\cos(B+C) = \cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ を代入して、

$$ -\frac{1}{2} \left\{ -\frac{1}{2} - \cos(B-C) \right\} = \frac{\sqrt{3}+1}{4} $$

$$ \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos(B-C) = \frac{\sqrt{3}+1}{4} $$

$$ \frac{1}{2}\cos(B-C) = \frac{\sqrt{3}}{4} $$

$$ \cos(B-C) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

条件 $\text{AB} > \text{AC}$ すなわち $c > b$ より、三角形の辺と角の大小関係から $\angle\text{C} > \angle\text{B}$ である。 $0^\circ < C-B < 120^\circ$ であるから、

$$ C-B = 30^\circ $$

$B+C = 120^\circ$ と連立すると、

$$ 2C = 150^\circ \iff C = 75^\circ $$

$$ 2B = 90^\circ \iff B = 45^\circ $$

よって、$b$ と $c$ の長さは、

$$ b = 2 \sin 45^\circ = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} $$

$$ c = 2 \sin 75^\circ = 2 \sin(45^\circ + 30^\circ) = 2 \left( \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \right) = 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \right) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} $$

以上より、各辺の長さが求まる。

解説

2辺と1角の情報から三角形を決定する典型的な問題である。 解法1のように辺の長さに着目して代数的に処理するのが王道だが、計算過程で二重根号が現れるため、式の変形に慣れていないと途中で計算に詰まる可能性がある。特に $(b+c)^2 = 6+3\sqrt{3}$ の二重根号を外す部分が鬼門となる。 一方で、解法2のように角の大きさに着目するアプローチは、外接円の半径が与えられている場合に非常に相性が良い。積和の公式を用いて角度を直接求めることで、面倒な二重根号の計算を回避できる。複数のアプローチを持っておくことの重要性が分かる良問である。

答え

$\text{BC} = \sqrt{3}$

$\text{CA} = \sqrt{2}$

$\text{AB} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$