解説

方針・初手

(1) は正三角形の面積を2通りの方法で表すか、正三角形の内心が重心と一致する性質を利用する。 (2) は余弦定理を用いて三角形 DEF の辺の長さを求め、正弦定理を用いて外接円の半径を求める。対称性から三角形 DEF が正三角形になることに着目する。 (3) は平方完成を用いて二次関数の最小値を求める。定義域 $0 < x < 1$ の確認を忘れないようにする。

解法1

**(1)**

正三角形 ABC の面積を $S$、内接円の半径を $r$ とする。

1辺の長さが $1$ の正三角形の面積 $S$ は、

$$ S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{4} $$

また、内接円の半径を用いて面積を表すと、

$$ S = \frac{1}{2} r (1 + 1 + 1) = \frac{3}{2} r $$

となる。これらが等しいことから、

$$ \frac{3}{2} r = \frac{\sqrt{3}}{4} $$

$$ r = \frac{\sqrt{3}}{6} $$

**(2)**

$\text{AD} = \text{BE} = \text{CF} = x$ であり、三角形 ABC の各辺の長さは $1$ なので、

$$ \text{BD} = \text{CE} = \text{AF} = 1 - x $$

である。

三角形 BDE において、余弦定理を用いると、

$$ \begin{aligned} \text{DE}^2 &= \text{BD}^2 + \text{BE}^2 - 2 \text{BD} \cdot \text{BE} \cos 60^\circ \\ &= (1 - x)^2 + x^2 - 2(1 - x)x \cdot \frac{1}{2} \\ &= 1 - 2x + x^2 + x^2 - (x - x^2) \\ &= 3x^2 - 3x + 1 \end{aligned} $$

ここで、三角形 ADF、三角形 BDE、三角形 CEF において、2辺とその間の角がそれぞれ等しいため、合同な三角形となる。

よって、$\text{DE} = \text{EF} = \text{FD}$ となり、三角形 DEF は正三角形である。

三角形 DEF の外接円の半径 $R$ は、正弦定理より、

$$ 2R = \frac{\text{DE}}{\sin 60^\circ} $$

$$ \begin{aligned} R &= \frac{\text{DE}}{2 \sin 60^\circ} \\ &= \frac{\sqrt{3x^2 - 3x + 1}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= \frac{\sqrt{3(3x^2 - 3x + 1)}}{3} \end{aligned} $$

根号の中を整理して、

$$ R = \sqrt{x^2 - x + \frac{1}{3}} $$

**(3)**

(2) で求めた $R$ を変形すると、

$$ \begin{aligned} R &= \sqrt{x^2 - x + \frac{1}{3}} \\ &= \sqrt{\left( x - \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{3}} \\ &= \sqrt{\left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{12}} \end{aligned} $$

定義域は $0 < x < 1$ であるから、根号の中身は $x = \frac{1}{2}$ のときに最小値をとる。

$R$ は正であるから、根号の中身が最小となるときに $R$ 自身も最小となる。

よって、$R$ を最小にする $x$ の値は、

$$ x = \frac{1}{2} $$

解法2

**(1)**

正三角形において、内接円の中心（内心）は重心と一致する。

頂点 A から辺 BC に垂線 AH を下ろすと、H は BC の中点となるので、

$$ \text{AH} = 1 \cdot \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

内心は AH を $2 : 1$ に内分する点であるから、内接円の半径 $r$ は、

$$ r = \text{AH} \times \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} $$

解説

図形量の計算に関する標準的な問題である。対称性に着目することで計算量を減らし、見通しよく解き進めることができる。

(2) では余弦定理と正弦定理を組み合わせて計算する。三角形 DEF が正三角形であることに気づけば正弦定理の適用がスムーズになる。

(3) は二次関数の最小値を求める基本的な問題である。平方完成を正確に行い、与えられた定義域 $0 < x < 1$ 内に頂点が含まれていることを確認する。

答え

(1) $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}$

(2) $\displaystyle R = \sqrt{x^2 - x + \frac{1}{3}}$

(3) $\displaystyle x = \frac{1}{2}$