解説

方針・初手

円に内接する四角形の性質（向かい合う角の和が $180^\circ$）と、各三角形における正弦定理・余弦定理を順次用いて、必要な角の大きさと辺の長さを求めていく。

解法1

四角形 $\text{ABCD}$ は半径 $2$ の円に内接するため、外接円の半径は $R = 2$ である。 円に内接する四角形の向かい合う角の和は $180^\circ$ であるから、

$$\angle\text{BAD} + \angle\text{BCD} = 180^\circ$$

$\angle\text{BAD} = 120^\circ$ より、

$$\angle\text{BCD} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$

$\triangle\text{ABD}$ において、正弦定理を用いると、

$$\frac{\text{AB}}{\sin \angle\text{ADB}} = 2R = 4$$

$\text{AB} = 2\sqrt{2}$ を代入して整理すると、

$$\sin \angle\text{ADB} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

$\triangle\text{ABD}$ の内角の和を考えると、$\angle\text{ADB} < 180^\circ - \angle\text{BAD} = 60^\circ$ であるから、

$$\angle\text{ADB} = 45^\circ$$

これより、$\angle\text{BDC}$ は次のように求まる。

$$\angle\text{BDC} = \angle\text{ADC} - \angle\text{ADB} = 75^\circ - 45^\circ = 30^\circ$$

$\triangle\text{BCD}$ において、正弦定理を用いると、

$$\frac{\text{BC}}{\sin \angle\text{BDC}} = 2R = 4$$

$$\text{BC} = 4 \sin 30^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$

次に、$\triangle\text{ABD}$ において正弦定理を用い、対角線 $\text{BD}$ の長さを求める。

$$\frac{\text{BD}}{\sin \angle\text{BAD}} = 2R = 4$$

$$\text{BD} = 4 \sin 120^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$

$\triangle\text{ABD}$ において余弦定理を用いると、

$$\text{BD}^2 = \text{AB}^2 + \text{AD}^2 - 2 \cdot \text{AB} \cdot \text{AD} \cos \angle\text{BAD}$$

$$(2\sqrt{3})^2 = (2\sqrt{2})^2 + \text{AD}^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \text{AD} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$$

$$12 = 8 + \text{AD}^2 + 2\sqrt{2} \text{AD}$$

$$\text{AD}^2 + 2\sqrt{2} \text{AD} - 4 = 0$$

これを $\text{AD}$ について解くと、

$$\text{AD} = -\sqrt{2} \pm \sqrt{(\sqrt{2})^2 - (-4)} = -\sqrt{2} \pm \sqrt{6}$$

$\text{AD} > 0$ であるから、

$$\text{AD} = \sqrt{6} - \sqrt{2}$$

続いて、四角形 $\text{ABCD}$ の面積を求めるため、辺 $\text{CD}$ の長さを求める。 $\triangle\text{BCD}$ において余弦定理を用いると、

$$\text{BD}^2 = \text{BC}^2 + \text{CD}^2 - 2 \cdot \text{BC} \cdot \text{CD} \cos \angle\text{BCD}$$

$$12 = 2^2 + \text{CD}^2 - 2 \cdot 2 \cdot \text{CD} \cdot \frac{1}{2}$$

$$12 = 4 + \text{CD}^2 - 2\text{CD}$$

$$\text{CD}^2 - 2\text{CD} - 8 = 0$$

$$(\text{CD} - 4)(\text{CD} + 2) = 0$$

$\text{CD} > 0$ であるから、$\text{CD} = 4$ となる。 四角形 $\text{ABCD}$ の面積 $S$ は、$\triangle\text{ABD}$ と $\triangle\text{BCD}$ の面積の和である。

$$S = \frac{1}{2} \text{AB} \cdot \text{AD} \sin \angle\text{BAD} + \frac{1}{2} \text{BC} \cdot \text{CD} \sin \angle\text{BCD}$$

$$S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$S = \frac{\sqrt{6}}{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + 2\sqrt{3}$$

$$S = (3 - \sqrt{3}) + 2\sqrt{3} = 3 + \sqrt{3}$$

解説

円に内接する四角形の性質や、正弦定理・余弦定理を順序よく適用していく標準的な図形問題である。 求めた値を次の図形に引き継いで計算を進めるため、計算ミスに注意が必要となる。 $\text{AD}$ を求める際、$\triangle\text{ABD}$ において $\angle\text{ABD} = 15^\circ$ であることに着目し、正弦定理から $\text{AD} = 2R \sin 15^\circ$ として求めることも可能である（$\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ は加法定理より導出）。ただし、余弦定理を用いて二次方程式を立てる方が、加法定理を回避できるため手堅い処理と言える。

答え

ア: 60

イ: 45

ウ: 2

エ: $\sqrt{6} - \sqrt{2}$

オ: $3 + \sqrt{3}$