解説

方針・初手

二等辺三角形であるため、頂角から底辺に垂線を下ろすことで直角三角形を作り、図形の高さと面積を求める。内接円の半径 $r$ は三角形の面積と周の長さの関係から、外接円の半径 $R$ は正弦定理から導出するのが定石である。 (2) は (1) で求めた $r, R$ の式から $\frac{r}{R}$ を計算し、式を整理して最大値を求める。

解法1

**(1)**

二等辺三角形の頂点を $A, B, C$ とし、$AB=AC=1, BC=2x$ とする。 頂点 $A$ から辺 $BC$ に垂線 $AH$ を下ろすと、二等辺三角形の性質から $H$ は辺 $BC$ の中点となるため、$BH=x$ である。

直角三角形 $ABH$ において、三平方の定理より

$$ AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{1^2 - x^2} = \sqrt{1 - x^2} $$

となる。 $\triangle ABC$ の面積を $S$ とすると

$$ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot \sqrt{1 - x^2} = x\sqrt{1 - x^2} $$

である。 また、内接円の半径 $r$ を用いて面積 $S$ を表すと

$$ S = \frac{1}{2}r(AB+BC+CA) = \frac{1}{2}r(1+2x+1) = r(x+1) $$

となるから、これらを等置して

$$ r(x+1) = x\sqrt{1 - x^2} $$

$$ r = \frac{x\sqrt{1 - x^2}}{x + 1} $$

となる。

一方、外接円の半径 $R$ について、$\triangle ABC$ に正弦定理を用いると

$$ 2R = \frac{AC}{\sin B} $$

である。直角三角形 $ABH$ において $\sin B = \frac{AH}{AB} = \sqrt{1 - x^2}$ であるから

$$ 2R = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$

$$ R = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} $$

となる。

**(2)**

(1) の結果より

$$ \frac{r}{R} = \frac{x\sqrt{1 - x^2}}{x + 1} \cdot 2\sqrt{1 - x^2} $$

$$ \frac{r}{R} = \frac{2x(1 - x^2)}{x + 1} $$

分子を因数分解して約分すると

$$ \frac{r}{R} = \frac{2x(1 - x)(1 + x)}{x + 1} = 2x(1 - x) = -2x^2 + 2x $$

これを平方完成すると

$$ \frac{r}{R} = -2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} $$

となる。 条件より $x$ は $0 < x < 1$ を満たすから、$x = \frac{1}{2}$ のとき $\frac{r}{R}$ は最大値 $\frac{1}{2}$ をとる。

解法2

**(1)**

外接円の半径 $R$ を求める際、三角形の面積 $S$ と外接円の半径 $R$ の関係式 $S = \frac{abc}{4R}$ を用いることもできる。

$$ x\sqrt{1 - x^2} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 2x}{4R} $$

$$ x\sqrt{1 - x^2} = \frac{x}{2R} $$

$x > 0$ であるから、両辺を $x$ で割って整理すると

$$ R = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} $$

となる。内接円の半径 $r$ の求め方は解法1と同様である。

解説

二等辺三角形の基本性質である「頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する」を用いて、高さを $x$ で表すことが第一歩である。 内接円の半径 $r$ は面積 $S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$ の公式から求めるのが基本。外接円の半径 $R$ は正弦定理、あるいは面積公式 $S = \frac{abc}{4R}$ の利用が定石である。 (2) は一見複雑な式になりそうだが、$\sqrt{1-x^2}$ の積が $(1-x^2)$ となり、分母の $x+1$ と約分できることに気付けば、単なる $x$ の2次関数に帰着する。無理式のまま強引に微分するのではなく、式の形をよく見て簡略化することが重要である。

答え

(1) $r = \frac{x\sqrt{1 - x^2}}{x + 1}$

$R = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}}$

(2) $x = \frac{1}{2}$ のとき、最大値 $\frac{1}{2}$