解説

方針・初手

**(1)** は、余弦定理を用いて辺 $\mathrm{AC}$ の長さを求めた後、再度余弦定理（または正弦定理）を用いて $\cos \angle \mathrm{ACB}$ を求める。

**(2)** は、図形の折り返しの性質を利用する。「線分 $\mathrm{DE}$ を折り目として折り返す」ことから、折り返す前後の図形は線分 $\mathrm{DE}$ を対称軸として線対称になるため、$\mathrm{AD} = \mathrm{MD}, \mathrm{AE} = \mathrm{ME}$ が成り立つ。この関係を用いて、$\triangle \mathrm{DBM}$ と $\triangle \mathrm{ECM}$ のそれぞれにおいて余弦定理を適用し、方程式を立てる。

解法1

**(1)**

$\triangle \mathrm{ABC}$ において、余弦定理より

$$ \mathrm{AC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2 - 2 \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{BC} \cos \angle \mathrm{ABC} $$

が成り立つ。与えられた数値を代入すると

$$ \begin{aligned} \mathrm{AC}^2 &= 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cos 60^{\circ} \\ &= 16 + 36 - 48 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 52 - 24 \\ &= 28 \end{aligned} $$

となる。$\mathrm{AC} > 0$ であるから

$$ \mathrm{AC} = 2\sqrt{7} $$

である。

続いて、$\triangle \mathrm{ABC}$ において再び余弦定理を用いると

$$ \mathrm{AB}^2 = \mathrm{BC}^2 + \mathrm{AC}^2 - 2 \cdot \mathrm{BC} \cdot \mathrm{AC} \cos \angle \mathrm{ACB} $$

が成り立つ。数値を代入して

$$ 4^2 = 6^2 + (2\sqrt{7})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 2\sqrt{7} \cos \angle \mathrm{ACB} $$

$$ 16 = 36 + 28 - 24\sqrt{7} \cos \angle \mathrm{ACB} $$

$$ 24\sqrt{7} \cos \angle \mathrm{ACB} = 48 $$

$$ \cos \angle \mathrm{ACB} = \frac{48}{24\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{7} $$

となる。

**(2)**

線分 $\mathrm{DE}$ を折り目として $\triangle \mathrm{ABC}$ を折り返したとき、頂点 $\mathrm{A}$ が点 $\mathrm{M}$ と重なるため、折り返しの性質より

$$ \mathrm{AD} = \mathrm{MD}, \quad \mathrm{AE} = \mathrm{ME} $$

が成り立つ。点 $\mathrm{M}$ は辺 $\mathrm{BC}$ の中点であるから

$$ \mathrm{BM} = \mathrm{CM} = \frac{1}{2}\mathrm{BC} = 3 $$

である。

まず、$\mathrm{MD}$ の長さを求める。 $\triangle \mathrm{DBM}$ において、$\mathrm{BD} = \mathrm{AB} - \mathrm{AD} = 4 - \mathrm{MD}$ である。余弦定理より

$$ \mathrm{MD}^2 = \mathrm{BD}^2 + \mathrm{BM}^2 - 2 \cdot \mathrm{BD} \cdot \mathrm{BM} \cos \angle \mathrm{ABC} $$

$$ \mathrm{MD}^2 = (4 - \mathrm{MD})^2 + 3^2 - 2(4 - \mathrm{MD}) \cdot 3 \cos 60^{\circ} $$

が成り立つ。これを展開して整理すると

$$ \mathrm{MD}^2 = 16 - 8\mathrm{MD} + \mathrm{MD}^2 + 9 - 3(4 - \mathrm{MD}) $$

$$ 0 = 25 - 8\mathrm{MD} - 12 + 3\mathrm{MD} $$

$$ 5\mathrm{MD} = 13 $$

$$ \mathrm{MD} = \frac{13}{5} $$

となる。

次に、$\mathrm{ME}$ の長さを求める。 $\triangle \mathrm{ECM}$ において、$\mathrm{CE} = \mathrm{AC} - \mathrm{AE} = 2\sqrt{7} - \mathrm{ME}$ である。余弦定理より

$$ \mathrm{ME}^2 = \mathrm{CE}^2 + \mathrm{CM}^2 - 2 \cdot \mathrm{CE} \cdot \mathrm{CM} \cos \angle \mathrm{ACB} $$

が成り立つ。**(1)** より $\cos \angle \mathrm{ACB} = \frac{2}{\sqrt{7}}$ であるから、代入すると

$$ \mathrm{ME}^2 = (2\sqrt{7} - \mathrm{ME})^2 + 3^2 - 2(2\sqrt{7} - \mathrm{ME}) \cdot 3 \cdot \frac{2}{\sqrt{7}} $$

となる。これを展開して整理すると

$$ \mathrm{ME}^2 = 28 - 4\sqrt{7}\mathrm{ME} + \mathrm{ME}^2 + 9 - \frac{12}{\sqrt{7}}(2\sqrt{7} - \mathrm{ME}) $$

$$ 0 = 37 - 4\sqrt{7}\mathrm{ME} - 24 + \frac{12}{\sqrt{7}}\mathrm{ME} $$

$$ \left( 4\sqrt{7} - \frac{12}{\sqrt{7}} \right) \mathrm{ME} = 13 $$

$$ \frac{28 - 12}{\sqrt{7}} \mathrm{ME} = 13 $$

$$ \frac{16}{\sqrt{7}} \mathrm{ME} = 13 $$

$$ \mathrm{ME} = \frac{13\sqrt{7}}{16} $$

となる。

解説

図形の折り返し（折紙）に関する問題の定石である。折り目となる線分（本問では $\mathrm{DE}$）は、折り返される点と折り返された後の点を結ぶ線分（$\mathrm{AM}$）の垂直二等分線となる。これにより、$\mathrm{AD} = \mathrm{MD}, \mathrm{AE} = \mathrm{ME}$ という関係が導かれる。 この等量関係を用いて、隣接する辺を $\mathrm{MD}$ や $\mathrm{ME}$ を含む1変数で表し、それぞれの三角形に余弦定理を適用することで、2次の項が相殺されて1次方程式に帰着する。図形の対称性から未知数を適切に設定することが鍵となる。

答え

**(1)** $\cos \angle \mathrm{ACB} = \frac{2\sqrt{7}}{7}$

**(2)** $\mathrm{MD} = \frac{13}{5}, \ \mathrm{ME} = \frac{13\sqrt{7}}{16}$