解説

方針・初手

(1) は平面上の $4$ 点 $\text{A}, \text{B}, \text{C}, \text{H}$ の距離に関する等式の証明である。点 $\text{B}$ が線分 $\text{AC}$ を $1:2$ に内分する点であることを利用し、ベクトルを用いて左辺を計算するか、直線 $\text{ABC}$ を $x$ 軸に設定した座標平面上で計算することで示せる。

(2) は空間図形における高さを求める問題である。塔の高さ $\text{PH}$ を文字でおき、直角三角形を用いて $\text{AH}, \text{BH}, \text{CH}$ を表し、(1)で示した関係式に代入する。

(3) は平面上の点 $\text{H}$ と直線の距離を求める問題である。(1)の座標設定を利用し、連立方程式を解いて点 $\text{H}$ の座標を特定する方針が簡明である。

解法1

(1) 点 $\text{A}, \text{B}, \text{C}$ は一直線上にこの順にあり、$\text{BC} = 2\text{AB}$ であるから、点 $\text{B}$ は線分 $\text{AC}$ を $1:2$ に内分する点である。 任意の点 $\text{H}$ を始点とする位置ベクトルについて、内分点の公式より

$$ \overrightarrow{\text{HB}} = \frac{2\overrightarrow{\text{HA}} + 1\overrightarrow{\text{HC}}}{1+2} = \frac{2\overrightarrow{\text{HA}} + \overrightarrow{\text{HC}}}{3} $$

が成り立つ。分母を払って $\overrightarrow{\text{HC}}$ について解くと

$$ \overrightarrow{\text{HC}} = 3\overrightarrow{\text{HB}} - 2\overrightarrow{\text{HA}} $$

となる。証明すべき等式の左辺をベクトルを用いて表し、この式を代入する。

$$ 2\text{AH}^2 - 3\text{BH}^2 + \text{CH}^2 $$

$$ = 2|\overrightarrow{\text{HA}}|^2 - 3|\overrightarrow{\text{HB}}|^2 + |\overrightarrow{\text{HC}}|^2 $$

$$ = 2|\overrightarrow{\text{HA}}|^2 - 3|\overrightarrow{\text{HB}}|^2 + |3\overrightarrow{\text{HB}} - 2\overrightarrow{\text{HA}}|^2 $$

$$ = 2|\overrightarrow{\text{HA}}|^2 - 3|\overrightarrow{\text{HB}}|^2 + \left( 9|\overrightarrow{\text{HB}}|^2 - 12\overrightarrow{\text{HA}} \cdot \overrightarrow{\text{HB}} + 4|\overrightarrow{\text{HA}}|^2 \right) $$

$$ = 6|\overrightarrow{\text{HA}}|^2 - 12\overrightarrow{\text{HA}} \cdot \overrightarrow{\text{HB}} + 6|\overrightarrow{\text{HB}}|^2 $$

$$ = 6 \left( |\overrightarrow{\text{HA}}|^2 - 2\overrightarrow{\text{HA}} \cdot \overrightarrow{\text{HB}} + |\overrightarrow{\text{HB}}|^2 \right) $$

$$ = 6|\overrightarrow{\text{HA}} - \overrightarrow{\text{HB}}|^2 $$

$$ = 6|\overrightarrow{\text{BA}}|^2 $$

$$ = 6\text{AB}^2 $$

したがって、左辺と右辺が一致するため、与式は示された。

(2) 塔は水平な地面に垂直に建っているため、$\triangle\text{PAH}$, $\triangle\text{PBH}$, $\triangle\text{PCH}$ はすべて $\angle\text{PHA} = \angle\text{PHB} = \angle\text{PHC} = 90^\circ$ の直角三角形である。 塔の高さ $\text{PH} = h$ とおく。

直角三角形 $\text{PAH}$ において $\angle\text{PAH} = 45^\circ$ より

$$ \text{AH} = \frac{h}{\tan 45^\circ} = h $$

直角三角形 $\text{PBH}$ において $\angle\text{PBH} = 60^\circ$ より

$$ \text{BH} = \frac{h}{\tan 60^\circ} = \frac{h}{\sqrt{3}} $$

直角三角形 $\text{PCH}$ において $\angle\text{PCH} = 30^\circ$ より

$$ \text{CH} = \frac{h}{\tan 30^\circ} = \sqrt{3}h $$

これらを(1)の等式に代入し、$\text{AB} = 100$ を用いると

$$ 2h^2 - 3\left(\frac{h}{\sqrt{3}}\right)^2 + (\sqrt{3}h)^2 = 6 \cdot 100^2 $$

$$ 2h^2 - h^2 + 3h^2 = 60000 $$

$$ 4h^2 = 60000 $$

$$ h^2 = 15000 $$

$h > 0$ であるから、$h = \sqrt{15000}$ となる。 ここで、$122^2$ と $123^2$ を計算して評価する。

$$ 122^2 = (120+2)^2 = 14400 + 480 + 4 = 14884 $$

$$ 123^2 = (120+3)^2 = 14400 + 720 + 9 = 15129 $$

したがって、$14884 < 15000 < 15129$、すなわち $122^2 < h^2 < 123^2$ となるため、

$$ 122 < h < 123 $$

となる。よって、$\text{PH}$ の整数部分は $122$ である。

(3) 直線 $\text{ABC}$ を $x$ 軸とする座標平面を設定する。 点 $\text{B}$ を原点 $(0,0)$ とすると、$\text{AB} = 100$, $\text{BC} = 200$ であり、点 $\text{A}, \text{B}, \text{C}$ はこの順に並ぶので、$\text{A}(-100, 0)$，$\text{C}(200, 0)$ と表せる。 点 $\text{H}$ の座標を $(x, y)$ とすると、点 $\text{H}$ と道（$x$ 軸）との距離 $d$ は $d = |y|$ である。

(2)より、

$$ \text{AH}^2 = h^2 = 15000 $$

$$ \text{BH}^2 = \frac{h^2}{3} = 5000 $$

$$ \text{CH}^2 = 3h^2 = 45000 $$

であるから、2点間の距離の平方より、以下の連立方程式を得る。

$$ (x+100)^2 + y^2 = 15000 \quad \cdots ① $$

$$ x^2 + y^2 = 5000 \quad \cdots ② $$

$$ (x-200)^2 + y^2 = 45000 \quad \cdots ③ $$

②を①に代入して

$$ (x^2 + 200x + 10000) + y^2 = 15000 $$

$$ 200x + 10000 + (x^2 + y^2) = 15000 $$

$$ 200x + 10000 + 5000 = 15000 $$

$$ 200x = 0 \iff x = 0 $$

$x=0$ を③に代入して確認すると、$(-200)^2 + y^2 = 40000 + 5000 = 45000$ となり矛盾しない。 $x=0$ を②に代入して

$$ y^2 = 5000 $$

したがって、求める距離 $d$ は

$$ d = |y| = \sqrt{5000} $$

ここで、$70^2 = 4900$、$71^2 = 5041$ であるから、

$$ 4900 < 5000 < 5041 $$

すなわち $70^2 < d^2 < 71^2$ より

$$ 70 < d < 71 $$

である。よって、距離の整数部分は $70$ である。

解法2

(1) 座標による証明 直線 $\text{ABC}$ を $x$ 軸とする座標平面を設定する。 点 $\text{B}$ を原点 $(0,0)$ とし、$\text{AB} = a$ とすると $\text{A}(-a, 0)$ とおくことができる（$a > 0$）。 $\text{BC} = 2\text{AB} = 2a$ であり、点 $\text{A}, \text{B}, \text{C}$ はこの順に並ぶから、$\text{C}(2a, 0)$ と表せる。 また、点 $\text{H}$ の座標を $(x, y)$ とおく。 このとき、2点間の距離の平方より

$$ \text{AH}^2 = (x+a)^2 + y^2 $$

$$ \text{BH}^2 = x^2 + y^2 $$

$$ \text{CH}^2 = (x-2a)^2 + y^2 $$

これらを証明すべき等式の左辺に代入すると

$$ 2\text{AH}^2 - 3\text{BH}^2 + \text{CH}^2 $$

$$ = 2\{(x+a)^2 + y^2\} - 3(x^2 + y^2) + \{(x-2a)^2 + y^2\} $$

$$ = 2(x^2 + 2ax + a^2 + y^2) - 3x^2 - 3y^2 + (x^2 - 4ax + 4a^2 + y^2) $$

$$ = (2-3+1)x^2 + (2-3+1)y^2 + (4a - 4a)x + 2a^2 + 4a^2 $$

$$ = 6a^2 $$

一方、右辺は $\text{AB} = a$ であるから、

$$ 6\text{AB}^2 = 6a^2 $$

したがって、左辺と右辺が一致するため、

$$ 2\text{AH}^2 - 3\text{BH}^2 + \text{CH}^2 = 6\text{AB}^2 $$

が成り立つ。

解説

空間図形の問題であるが、(1)で平面上の関係式を示し、(2)で塔の高さを媒介にして直角三角形の辺の長さに帰着させ、(3)で再び平面図形として処理するという流れになっている。 (1) はベクトルの内分点の公式を用いるのが最も素早い。しかし、(3)で「点 $\text{H}$ と直線の距離」を求めるにあたり、直線 $\text{ABC}$ を $x$ 軸とする座標系を設定することが非常に有効である。そのため、(1)の段階から解法2のように座標を設定して計算する方針をとると、(3)の連立方程式へ自然に繋がるため見通しが良い。 (2) と (3) における平方根の整数部分を求める処理は、無理数を不等式で挟み込む典型的な手法であり、$N^2 < X < (N+1)^2$ を満たす整数 $N$ を見つけることで解決する。

答え

(1) （証明済）

(2) $122$

(3) $70$