解説

方針・初手

(1)と(2)は、三角形の基本定理（正弦定理・余弦定理）および面積公式を用いる典型的な問題である。(3)は、円に内接する四角形の頂点が動くときの対角線の長さの最大・最小を、図形的に考察して求めるのが簡明である。(4)は、2つの弦の長さが等しいという条件から、円周角の性質を利用して等脚台形となる2つの場合を見落とさずに場合分けすることが重要である。

解法1

**(1)**

$0^\circ < \angle \text{DAB} < 180^\circ$ より $\sin \angle \text{DAB} > 0$ であるから、

$$ \sin \angle \text{DAB} = \sqrt{1 - \left(-\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\sqrt{5}}{3} $$

よって、$\triangle \text{ABD}$ の面積 $S$ は、

$$ S = \frac{1}{2} \cdot \text{AB} \cdot \text{AD} \sin \angle \text{DAB} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \sqrt{5} $$

**(2)**

$\triangle \text{ABD}$ において余弦定理より、

$$ \text{BD}^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = 9 + 4 + 8 = 21 $$

$\text{BD} > 0$ であるから、$\text{BD} = \sqrt{21}$ である。 また、外接円の半径 $R$ について、$\triangle \text{ABD}$ に正弦定理を用いると、

$$ 2R = \frac{\text{BD}}{\sin \angle \text{DAB}} = \frac{\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{3\sqrt{21}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{105}}{5} $$

したがって、

$$ R = \frac{3\sqrt{105}}{10} $$

**(3)**

四角形 ABCD は円に内接しており、4点 A, B, C, D はこの順に並んでいるため、点 C は円周上のうち、点 A を含まない側の弧 BD 上を動く（ただし、点 C は B, D とは一致しない）。

弦 AC の長さ $x$ が最大となるのは、線分 AC が円の直径となるときである。 $\cos \angle \text{DAB} < 0$ より $\angle \text{DAB} > 90^\circ$ であるから、点 A を含まない側の弧 BD は半円より長い。したがって、点 A を通る直径のもう一方の端点は、点 A を含まない側の弧 BD 上に存在する。 このとき、最大値は $x = 2R = \frac{3\sqrt{105}}{5}$ となる。

また、点 C が弧 BD 上を点 D に近づくとき、AC の長さは $\text{AD} = 2$ に近づき、点 B に近づくとき、AC の長さは $\text{AB} = 3$ に近づく。 点 C が点 D から点 B に向かって弧の上を動くとき、弦 AC の長さは $2$ に限りなく近い値から最大値 $\frac{3\sqrt{105}}{5}$ まで増加し、その後 $3$ に限りなく近い値まで減少する。

したがって、$x$ のとりうる値の範囲は、

$$ 2 < x \leqq \frac{3\sqrt{105}}{5} $$

**(4)**

同一の円において、長さが等しい弦に対する円周角は等しいか、または和が $180^\circ$ となる。 $\text{AC} = \text{BD}$ より、弦 AC と弦 BD に対応する円周角について、$\angle \text{ADC} = \angle \text{BAD}$ または $\angle \text{ADC} + \angle \text{BAD} = 180^\circ$ が成り立つ。 四角形 ABCD は円に内接するため、$\angle \text{BCD} = 180^\circ - \angle \text{BAD}$ であり、$\cos \angle \text{BCD} = \frac{2}{3}$、$\sin \angle \text{BCD} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ である。

**(i)** $\angle \text{ADC} = \angle \text{BAD}$ のとき

このとき、四角形 ABCD は $\text{AD} \parallel \text{BC}$ の等脚台形となり、$\text{CD} = \text{AB} = 3$ である。 $\text{BC} = a$ ($a > 0$) とおく。$\triangle \text{BCD}$ に余弦定理を用いると、

$$ \text{BD}^2 = \text{BC}^2 + \text{CD}^2 - 2\text{BC} \cdot \text{CD} \cos \angle \text{BCD} $$

$$ 21 = a^2 + 3^2 - 2 \cdot a \cdot 3 \cdot \frac{2}{3} $$

$$ a^2 - 4a - 12 = 0 $$

これを解くと $(a - 6)(a + 2) = 0$ となり、$a > 0$ より $a = 6$ を得る。すなわち $\text{BC} = 6$ である。 このときの四角形 ABCD の面積 $S_1$ は、

$$ \begin{aligned} S_1 &= \triangle \text{ABD} + \triangle \text{BCD} \\ &= \sqrt{5} + \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} \\ &= \sqrt{5} + 3\sqrt{5} \\ &= 4\sqrt{5} \end{aligned} $$

**(ii)** $\angle \text{ADC} + \angle \text{BAD} = 180^\circ$ のとき

円に内接する四角形の性質より $\angle \text{ABC} + \angle \text{ADC} = 180^\circ$ であるから、$\angle \text{ABC} = \angle \text{BAD}$ となる。 このとき、四角形 ABCD は $\text{AB} \parallel \text{CD}$ の等脚台形となり、$\text{BC} = \text{AD} = 2$ である。 $\text{CD} = b$ ($b > 0$) とおく。$\triangle \text{BCD}$ に余弦定理を用いると、

$$ \text{BD}^2 = \text{BC}^2 + \text{CD}^2 - 2\text{BC} \cdot \text{CD} \cos \angle \text{BCD} $$

$$ 21 = 2^2 + b^2 - 2 \cdot 2 \cdot b \cdot \frac{2}{3} $$

$$ 3b^2 - 8b - 51 = 0 $$

これを解くと $b = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 3 \cdot (-51)}}{3} = \frac{4 \pm 13}{3}$ となり、$b > 0$ より $b = \frac{17}{3}$ を得る。すなわち $\text{CD} = \frac{17}{3}$ である。 このときの四角形 ABCD の面積 $S_2$ は、

$$ \begin{aligned} S_2 &= \triangle \text{ABD} + \triangle \text{BCD} \\ &= \sqrt{5} + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{17}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} \\ &= \sqrt{5} + \frac{17\sqrt{5}}{9} \\ &= \frac{26\sqrt{5}}{9} \end{aligned} $$

以上より、四角形 ABCD の面積のとりうる値は $4\sqrt{5}$ と $\frac{26\sqrt{5}}{9}$ の2つである。

解説

(3)は、式でゴリ押ししようとすると $\triangle \text{BCD}$ における余弦定理とトレミーの定理を連立することになり、計算が煩雑になりやすい。円周上の動点に対する弦の長さという図形的な意味に立ち返ると、計算なしに上限と下限を見極めることができる。 (4)は、「等しい長さの弦」という条件から「等脚台形」を導き出すのが定石である。ただし、向かい合う辺のどちらの組が平行になるか（$\text{AD} \parallel \text{BC}$ か $\text{AB} \parallel \text{CD}$ か）によって2通りの場合分けが必要になる点が差のつくポイントである。

答え

(1) $S = \sqrt{5}$

(2) $\text{BD} = \sqrt{21}$, $R = \frac{3\sqrt{105}}{10}$

(3) $2 < x \leqq \frac{3\sqrt{105}}{5}$

(4) $4\sqrt{5}, \ \frac{26\sqrt{5}}{9}$