解説

方針・初手

極限の分母が $x-a$ であり、$f$ は $x=a$ で微分可能であるから、$f(x)-f(a)$ を作る形に変形するとよい。

（1） は平方差を用いて因数分解する。

（2） も同様に平方差に直し、$a f(x)-x f(a)$ の中に $f(x)-f(a)$ と $x-a$ を見つける。

解法1

**(1)**

分子を平方差で因数分解すると、

$$ {f(x)}^2-{f(a)}^2={f(x)-f(a)}{f(x)+f(a)} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \frac{{f(x)}^2-{f(a)}^2}{x-a} &= \frac{f(x)-f(a)}{x-a}{f(x)+f(a)} \end{aligned} $$

となる。

ここで、$f$ は $x=a$ で微分可能であるから、

$$ \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a) $$

であり、また $f$ は $x=a$ で連続だから、

$$ \lim_{x\to a}{f(x)+f(a)}=2f(a) $$

である。よって求める極限値は

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to a}\frac{{f(x)}^2-{f(a)}^2}{x-a} &= f'(a)\cdot 2f(a) \\ 2f(a)f'(a) \end{aligned} $$

となる。

**(2)**

まず分子を平方差で因数分解する。

$$ \begin{aligned} {a f(x)}^2-{x f(a)}^2 &= {a f(x)-x f(a)}{a f(x)+x f(a)} \end{aligned} $$

したがって、

$$ \begin{aligned} \frac{{a f(x)}^2-{x f(a)}^2}{x-a} &= \frac{a f(x)-x f(a)}{x-a}{a f(x)+x f(a)} \end{aligned} $$

となる。

ここで、

$$ \begin{aligned} a f(x)-x f(a) &= a{f(x)-f(a)}-(x-a)f(a) \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{a f(x)-x f(a)}{x-a} &= a\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f(a) \end{aligned} $$

を得る。よって $x\to a$ とすると、

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to a}\frac{a f(x)-x f(a)}{x-a} &= a f'(a)-f(a) \end{aligned} $$

である。

また、$f$ は $x=a$ で連続なので、

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to a}{a f(x)+x f(a)} &= a f(a)+a f(a) \\ 2a f(a) \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to a}\frac{{a f(x)}^2-{x f(a)}^2}{x-a} &= {a f'(a)-f(a)}\cdot 2a f(a) \end{aligned} $$

すなわち、

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to a}\frac{{a f(x)}^2-{x f(a)}^2}{x-a} &= 2a f(a){a f'(a)-f(a)} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の要点は、微分係数

$$ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$

の形を作ることである。

（1） は標準的な平方差の利用であり、${f(x)}^2$ の微分に対応している。

（2） も見た目は複雑であるが、平方差で分解したあとに

$$ a f(x)-x f(a)=a{f(x)-f(a)}-(x-a)f(a) $$

と変形すると、やはり微分係数の形に帰着する。無理に展開するより、この形を見抜くほうが処理が明快である。

答え

$$

**(1)**

\ 2f(a)f'(a) $$

$$

**(2)**

\ 2a f(a){a f'(a)-f(a)} $$