解説

方針・初手

$f(3+3h)-f(3-2h)$ をそのまま扱うより、いったん $f(3)$ をはさんで

$$ f(3+3h)-f(3-2h)={f(3+3h)-f(3)}+{f(3)-f(3-2h)} $$

と分けるのが自然である。

すると、それぞれが微分係数の形に直せるので、まず $f'(3)$ を求めればよい。

解法1

与えられた関数は

$$ f(x)=\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{3}x^3+x-1 $$

であるから、

$$ f'(x)=x^4-x^2+1 $$

となる。よって

$$ f'(3)=3^4-3^2+1=81-9+1=73 $$

である。

ここで、求める極限を

$$ \begin{aligned} \frac{f(3+3h)-f(3-2h)}{h} &= \frac{f(3+3h)-f(3)}{h} + \frac{f(3)-f(3-2h)}{h} \end{aligned} $$

と分ける。

第1項は

$$ \begin{aligned} \frac{f(3+3h)-f(3)}{h} &= 3\cdot \frac{f(3+3h)-f(3)}{3h} \end{aligned} $$

であるから、$h\to 0$ のとき $3h\to 0$ より

$$ \begin{aligned} \lim_{h\to 0}\frac{f(3+3h)-f(3)}{h} &= 3f'(3) \end{aligned} $$

となる。

第2項は

$$ \begin{aligned} \frac{f(3)-f(3-2h)}{h} &= 2\cdot \frac{f(3)-f(3-2h)}{2h} \end{aligned} $$

である。ここで $3-(3-2h)=2h$ だから、

$$ \frac{f(3)-f(3-2h)}{2h} $$

は $x=3$ における微分係数の形になっており、

$$ \lim_{h\to 0}\frac{f(3)-f(3-2h)}{2h}=f'(3) $$

である。したがって

$$ \lim_{h\to 0}\frac{f(3)-f(3-2h)}{h}=2f'(3) $$

となる。

以上より、

$$ \begin{aligned} \lim_{h\to 0}\frac{f(3+3h)-f(3-2h)}{h} &= 3f'(3)+2f'(3)=5f'(3) \end{aligned} $$

であるから、

$$ 5f'(3)=5\cdot 73=365 $$

よって求める値は

$$ 365 $$

である。

解説

この問題の要点は、分子にある $f(3+3h)$ と $f(3-2h)$ を直接展開しないことである。

$f(3)$ をはさんで2つに分けると、それぞれが「$x=3$ での微分係数」に帰着する。一般に、$f$ が $x=a$ で微分可能なら

$$ \begin{aligned} \lim_{h\to 0}\frac{f(a+\alpha h)-f(a+\beta h)}{h} &= (\alpha-\beta)f'(a) \end{aligned} $$

となる。この問題では $a=3,\ \alpha=3,\ \beta=-2$ なので、係数は $3-(-2)=5$ になる。

答え

$$ 365 $$