基礎問題集
数学2 微分法「微分の基本」の問題3 解説
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解説
方針・初手
分母が $x^2-a^2=(x-a)(x+a)$ と因数分解できるので、まず $x-a$ を作る形に変形する。
そのために、分子を
$$ x^2f(x)-a^2f(a)=x^2{f(x)-f(a)}+f(a)(x^2-a^2) $$
と分けて考える。
解法1
与えられた極限を
$$ L=\lim_{x\to a}\frac{x^2f(x)-a^2f(a)}{x^2-a^2} $$
とおく。
分子を分解すると、
$$ x^2f(x)-a^2f(a)=x^2{f(x)-f(a)}+f(a)(x^2-a^2) $$
であるから、
$$ \begin{aligned} \frac{x^2f(x)-a^2f(a)}{x^2-a^2} &= \frac{x^2{f(x)-f(a)}}{x^2-a^2}+f(a) \end{aligned} $$
となる。
ここで $x^2-a^2=(x-a)(x+a)$ を用いると、
$$ \begin{aligned} \frac{x^2{f(x)-f(a)}}{x^2-a^2} &= \frac{x^2}{x+a}\cdot \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \end{aligned} $$
である。
したがって、
$$ L=\lim_{x\to a}\left(\frac{x^2}{x+a}\cdot \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right)+f(a) $$
となる。
$f$ は $a$ で微分可能であるから、
$$ \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a) $$
であり、また
$$ \lim_{x\to a}\frac{x^2}{x+a}=\frac{a^2}{2a}=\frac{a}{2} $$
である。したがって、
$$ L=\frac{a}{2}f'(a)+f(a) $$
を得る。
よって求める値は
$$ f(a)+\frac{a}{2}f'(a) $$
である。
解説
この問題の要点は、分子をそのまま扱わず、$f(x)-f(a)$ を含む形に分解して微分係数の極限に持ち込むことである。
$x^2-a^2$ があるので、$x-a$ を意識して
$$ x^2f(x)-a^2f(a)=x^2{f(x)-f(a)}+f(a)(x^2-a^2) $$
と分けるのが自然な初手である。この変形ができれば、あとは微分係数の定義をそのまま使える。
答え
$$ f(a)+\frac{a}{2}f'(a) $$