解説

方針・初手

$x \to 3$ のとき，分子 $x^2+2x-15$ は $x=3$ で $0$ になる。

極限値が有限の $3$ になるためには，分母 $x^2+ax+b$ も $x=3$ で $0$ にならなければならない。したがって，分母も $(x-3)$ を因数にもつと考えて因数分解の形に直すのが自然である。

解法1

まず，分子を因数分解すると

$$ x^2+2x-15=(x-3)(x+5) $$

である。

極限

$$ \lim_{x\to 3}\frac{x^2+2x-15}{x^2+ax+b} $$

が有限値をもつためには，分母も $x=3$ で $0$ にならなければならないから，

$$ x^2+ax+b=(x-3)(x+c) $$

とおける。

これを展開すると

$$ x^2+ax+b=x^2+(c-3)x-3c $$

より，

$$ a=c-3,\qquad b=-3c $$

である。

したがって極限は

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+5)}{(x-3)(x+c)} &= \lim_{x\to 3}\frac{x+5}{x+c} \\ \frac{8}{3+c} \end{aligned} $$

となる。これが $3$ に等しいので，

$$ \frac{8}{3+c}=3 $$

すなわち

$$ 8=3(3+c)=9+3c $$

より，

$$ 3c=-1,\qquad c=-\frac13 $$

を得る。

よって

$$ a=c-3=-\frac13-3=-\frac{10}{3}, \qquad b=-3c=-3\left(-\frac13\right)=1 $$

である。

解法2

分母も $x=3$ で $0$ にならないと極限は $0$ になってしまうので，まず

$$ 3^2+3a+b=0 $$

すなわち

$$ 9+3a+b=0 $$

が必要である。

ここで分子は

$$ x^2+2x-15=(x-3)(x+5) $$

であり，$x=3$ で 1 次の零点をもつ。極限が有限非零の値 $3$ になるためには，分母も $x=3$ で 1 次の零点をもつ必要がある。

そこで，分母を $(x-3)$ で割ると

$$ x^2+ax+b=(x-3)\left(x+a+3\right) $$

となるためには，定数項について

$$ b=-3(a+3) $$

でなければならない。これは先ほどの条件 $9+3a+b=0$ と同じである。

よって

$$ x^2+ax+b=(x-3)(x+a+3) $$

と表せるので，

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to 3}\frac{x^2+2x-15}{x^2+ax+b} &= \lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+5)}{(x-3)(x+a+3)} \\ \frac{8}{a+6} \end{aligned} $$

これが $3$ に等しいから，

$$ \frac{8}{a+6}=3 $$

より，

$$ 8=3a+18 $$

したがって

$$ 3a=-10,\qquad a=-\frac{10}{3} $$

である。

これを

$$ 9+3a+b=0 $$

に代入すると，

$$ 9+3\left(-\frac{10}{3}\right)+b=0 $$

$$ 9-10+b=0 $$

$$ b=1 $$

となる。

解説

この問題の要点は，極限値が有限の非零値になるとき，分子と分母が同じ次数だけ $0$ になる必要があることである。

分子は $x=3$ で $(x-3)$ を 1 つだけ因数にもつので，分母も同様に $(x-3)$ を 1 つだけ因数にもつとみて処理すればよい。単に $x=3$ を代入して条件を立てるだけでなく，その後に因数 $(x-3)$ を約して極限値を求める流れが重要である。

答え

$$ a=-\frac{10}{3},\qquad b=1 $$