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数学2 微分法「微分の基本」の問題7 解説

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数学2微分法微分の基本問題7

解説

平均変化率は

$$ \frac{f(3+h)-f(3)}{(3+h)-3} $$

で表される。ここで分母は $h$ であり、問題文でも $h\ne 0$ とされているので、この式をそのまま計算して $9$ とおけばよい。

$f(x)=x^2-1$ であるから、

$$ f(3)=3^2-1=8 $$

また、

$$ f(3+h)=(3+h)^2-1=9+6h+h^2-1=8+6h+h^2 $$

よって、$x$ が $3$ から $3+h$ まで変化するときの平均変化率は

$$ \begin{aligned} \frac{f(3+h)-f(3)}{(3+h)-3} &= \frac{(8+6h+h^2)-8}{h} \\ \frac{6h+h^2}{h} \end{aligned} $$

となる。

ここで $h\ne 0$ なので、$h$ で割ることができて

$$ \frac{6h+h^2}{h}=6+h $$

したがって、平均変化率が $9$ であることから

$$ 6+h=9 $$

よって、

$$ h=3 $$

平均変化率は「増加した関数の値 ÷ 増加した $x$ の値」である。今回は $x$ の増加量が $(3+h)-3=h$ であることを正しく押さえるのが基本である。

また、途中で $h$ で割っているが、これは問題文に $h\ne 0$ とあるから正当化できる。ここを確認せずに約分すると論理が雑になるので注意したい。

$$ h=3 $$