解説

方針・初手

微分係数は定義に従って

$$ f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$

で求める。したがって、まず $f(x)=x^4$ に対して $f(a+h)$ を展開し、差商を整理する。

解法1

$f(x)=x^4$ であるから、

$$ f(a+h)=(a+h)^4 $$

である。よって、$x=a$ における微分係数は定義より

$$ f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{(a+h)^4-a^4}{h} $$

となる。

ここで $(a+h)^4$ を展開すると、

$$ (a+h)^4=a^4+4a^3h+6a^2h^2+4ah^3+h^4 $$

である。したがって、

$$ \frac{(a+h)^4-a^4}{h} =\frac{4a^3h+6a^2h^2+4ah^3+h^4}{h} $$

となり、$h\neq 0$ として約分すると、

$$ \frac{(a+h)^4-a^4}{h} =4a^3+6a^2h+4ah^2+h^3 $$

を得る。よって、

$$ f'(a)=\lim_{h\to 0}\left(4a^3+6a^2h+4ah^2+h^3\right) =4a^3 $$

である。

解説

この問題では、微分公式を用いるのではなく、微分係数の定義から直接求めることがポイントである。

展開後に $h$ をくくり出せる形になり、差商の分母の $h$ と約分できる。その後、$h\to 0$ を代入すればよい。多項式の微分を定義から求める基本的な計算である。

答え

$x=a$ における微分係数は

$$ f'(a)=4a^3 $$

である。