解説

方針・初手

まず多項式を展開して微分し、導関数の符号から増減を調べる。 そのうえで極大値・極小値を求め、さらに $x$ 軸との交点も確認すると、グラフの概形がはっきりする。

解法1

与えられた関数は

$$ f(x)=x(x^2-5x+3)=x^3-5x^2+3x $$

である。

増減を調べるために微分すると

$$ f'(x)=3x^2-10x+3 $$

となる。これを因数分解すると

$$ f'(x)=(3x-1)(x-3) $$

である。

したがって、$f'(x)$ の符号は次のようになる。

• $x<\dfrac13$ のとき、$f'(x)>0$
• $\dfrac13<x<3$ のとき、$f'(x)<0$
• $x>3$ のとき、$f'(x)>0$

よって、$f(x)$ は

• $(-\infty,\dfrac13)$ で増加
• $(\dfrac13,3)$ で減少
• $(3,\infty)$ で増加

する。

したがって、$x=\dfrac13$ で極大、$x=3$ で極小となる。

極大値は

$$ f\left(\frac13\right) =\frac13\left(\frac19-\frac53+3\right) =\frac13\left(\frac{1-15+27}{9}\right) =\frac13\cdot\frac{13}{9} =\frac{13}{27} $$

より、

$$ x=\frac13 \text{ で極大値 } \frac{13}{27} $$

である。

極小値は

$$ f(3)=3(9-15+3)=3(-3)=-9 $$

より、

$$ x=3 \text{ で極小値 } -9 $$

である。

次に、グラフの概形をつかむために $x$ 軸との交点を求める。

$$ f(x)=x(x^2-5x+3)=0 $$

より、

$$ x=0,\quad x^2-5x+3=0 $$

である。二次方程式を解くと

$$ x=\frac{5\pm\sqrt{13}}{2} $$

となるから、$x$ 軸との交点は

$$ \left(0,0\right),\quad \left(\frac{5-\sqrt{13}}{2},0\right),\quad \left(\frac{5+\sqrt{13}}{2},0\right) $$

である。

さらに、最高次の係数が正である三次関数なので、

• $x\to -\infty$ のとき $f(x)\to -\infty$
• $x\to \infty$ のとき $f(x)\to \infty$

である。

以上より、グラフは左下から上がって $x=\dfrac13$ で極大値 $\dfrac{13}{27}$ をとり、その後下がって $x=3$ で極小値 $-9$ をとり、再び右上へ上がる三次関数の形となる。

解説

この問題の中心は、導関数

$$ f'(x)=(3x-1)(x-3) $$

の符号を見ることである。極値だけ求めて終わるのではなく、グラフの概形を描くには $x$ 軸との交点も押さえる必要がある。

特に、極大値が正、極小値が負であるため、グラフは $x$ 軸を3回横切ることが分かる。これにより三次関数の形が具体的に定まる。

答え

$f(x)=x^3-5x^2+3x$ とすると、

増加区間は $(-\infty,\dfrac13),\ (3,\infty)$

減少区間は $(\dfrac13,3)$

である。

また、

$x=\dfrac13$ で極大値 $\dfrac{13}{27}$

$x=3$ で極小値 $-9$

をとる。

$x$ 軸との交点は

$$ x=0,\quad x=\frac{5-\sqrt{13}}{2},\quad x=\frac{5+\sqrt{13}}{2} $$

であり、グラフは左下から右上へ向かう三次関数で、途中で

$\left(\dfrac13,\dfrac{13}{27}\right)$ に極大点、

$(3,-9)$ に極小点をもつ。