解説

方針・初手

増加関数であるためには、区間 $1 \leqq x \leqq 2$ において常に $y' \geqq 0$ が成り立てばよい。

したがって、まず導関数を求め、その符号が区間全体で非負になるような $a$ の条件を調べる。

解法1

与えられた関数は

$$ y=x^3-3ax^2-12x+3 $$

であるから、その導関数は

$$ y'=3x^2-6ax-12 $$

である。

この関数が閉区間 $1 \leqq x \leqq 2$ で増加関数であるためには、

$$ y' \geqq 0 $$

が $1 \leqq x \leqq 2$ のすべての $x$ について成り立てばよい。

よって

$$ 3x^2-6ax-12 \geqq 0 $$

すなわち

$$ x^2-2ax-4 \geqq 0 $$

である。

ここで、区間内では $x>0$ であるから、不等式を $a$ について解くと

$$ -2ax \geqq 4-x^2 $$

$$ a \leqq \frac{x^2-4}{2x} $$

となる。

したがって、すべての $x \in [1,2]$ に対してこの不等式が成り立つためには、

$$ a \leqq \min_{1 \leqq x \leqq 2} \frac{x^2-4}{2x} $$

であればよい。

ここで

$$ f(x)=\frac{x^2-4}{2x}=\frac{x}{2}-\frac{2}{x} $$

とおくと、

$$ f'(x)=\frac{1}{2}+\frac{2}{x^2} $$

であり、これは $x>0$ で常に正である。

よって $f(x)$ は区間 $1 \leqq x \leqq 2$ で単調増加であるから、最小値は $x=1$ のときにとる。

したがって

$$ \min_{1 \leqq x \leqq 2} \frac{x^2-4}{2x} =\frac{1-4}{2} =-\frac{3}{2} $$

となる。

ゆえに求める $a$ の範囲は

$$ a \leqq -\frac{3}{2} $$

である。

解説

この問題の要点は、「増加関数」であることを導関数の符号条件に言い換えることである。

さらに、$y' \geqq 0$ をそのまま $a$ について整理すると、$a$ が $x$ の式以下であるという形になる。あとはその右辺の最小値を求めればよい。

区間が $1 \leqq x \leqq 2$ であり、$x$ が常に正なので、不等式変形で向きが変わらない点にも注意する。

答え

$$ a \leqq -\frac{3}{2} $$