解説

方針・初手

極大値をもつかどうかは、導関数 $f'(x)$ の符号変化を調べれば判定できる。

極大値をもつのは、ある点で $f'(x)$ が正から負に変わるときである。したがって、まず $f'(x)$ を因数分解し、実数解の個数と位置関係を整理する。

解法1

$$ f(x)=x^4-8x^3+18kx^2 $$

より、

$$ f'(x)=4x^3-24x^2+36kx=4x(x^2-6x+9k) $$

である。

さらに

$$ x^2-6x+9k=(x-3)^2+9(k-1) $$

と書けるので、$f'(x)$ の符号は $x$ と $x^2-6x+9k$ の符号で決まる。

（i） $k>1$ のとき

このとき

$$ (x-3)^2+9(k-1)>0 $$

がすべての実数 $x$ で成り立つ。したがって

$$ f'(x)=4x\bigl((x-3)^2+9(k-1)\bigr) $$

の符号は $x$ の符号と一致する。

よって

• $x<0$ で $f'(x)<0$
• $x>0$ で $f'(x)>0$

となり、$x=0$ で極小値をもつだけで、極大値はもたない。

（ii） $k=1$ のとき

$$ f'(x)=4x(x-3)^2 $$

となる。

$(x-3)^2\geqq 0$ であるから、やはり $f'(x)$ の符号は $x$ の符号と一致する。ただし $x=3$ では重解となるだけで符号は変わらない。

したがってこの場合も極大値はもたない。

（iii） $k<1$ のとき

このとき $x^2-6x+9k=0$ は実数解をもち、その解は

$$ x=3\pm 3\sqrt{1-k} $$

である。

ここで場合分けする。

（a） $k<0$ のとき

このとき

$$ 3-3\sqrt{1-k}<0<3+3\sqrt{1-k} $$

である。したがって $f'(x)$ の3つの実数解は

$$ 3-3\sqrt{1-k},\ 0,\ 3+3\sqrt{1-k} $$

の順に並ぶ。

$f'(x)$ は3次式で最高次係数が正であるから、符号は左から順に

$$ -,\ +,\ -,\ + $$

と変化する。よって $x=0$ で正から負に変わり、極大値をもつ。

したがって $k<0$ は不適である。

（b） $0<k<1$ のとき

このとき

$$ 0<3-3\sqrt{1-k}<3+3\sqrt{1-k} $$

である。したがって $f'(x)$ の3つの実数解は

$$ 0,\ 3-3\sqrt{1-k},\ 3+3\sqrt{1-k} $$

の順に並ぶ。

同様に符号は

$$ -,\ +,\ -,\ + $$

と変化するので、

$$ x=3-3\sqrt{1-k} $$

で正から負に変わり、極大値をもつ。

したがって $0<k<1$ も不適である。

（c） $k=0$ のとき

$$ f'(x)=4x^2(x-6) $$

となる。

$x^2\geqq 0$ であるから、符号は $x-6$ の符号で決まり、

• $x<6$ で $f'(x)\leqq 0$
• $x>6$ で $f'(x)>0$

である。$x=0$ では符号は変わらず、$x=6$ では負から正に変わるだけである。

したがって極大値はもたない。

以上より、求める $k$ は

$$ k=0,\quad \text{または}\quad k\geqq 1 $$

である。

解説

この問題の要点は、極大値の有無を「$f'(x)=0$ の解の個数」だけでなく、「その前後で符号がどう変わるか」で判断することである。

特に $k=0,\ 1$ では重解が現れるため、$f'(x)=0$ だからといってただちに極値とは限らない。重解では符号が変わらないことがあり、その確認が必要である。

答え

$$ k=0\ \text{または}\ k\geqq 1 $$