解説

方針・初手

極大・極小をとる点では導関数が $0$ になる。したがって

• $x=1,3$ で $f'(x)=0$
• さらに $f(1)=1,\ f(3)=0$

を用いればよい。

まず $f'(x)$ が $x=1,3$ を解にもつ2次式であることから形を決める。

解法1

与えられた関数を

$$ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d $$

とすると、その導関数は

$$ f'(x)=3ax^2+2bx+c $$

である。

$x=1$ で極大、$x=3$ で極小であるから、ともに停留点であり

$$ f'(1)=0,\quad f'(3)=0 $$

が成り立つ。したがって $f'(x)$ は $x=1,3$ を根にもつ2次式であるので、ある定数 $k$ を用いて

$$ f'(x)=k(x-1)(x-3) $$

と書ける。

これを展開すると

$$ f'(x)=k(x^2-4x+3) $$

である。一方、

$$ f'(x)=3ax^2+2bx+c $$

であるから、係数を比較して

$$ 3a=k,\quad 2b=-4k,\quad c=3k $$

を得る。$k=3a$ を代入すると

$$ b=-6a,\quad c=9a $$

となる。

よって

$$ f(x)=ax^3-6ax^2+9ax+d $$

である。

ここで $x=3$ で極小値 $0$ をとるので

$$ f(3)=0 $$

より

$$ 27a-54a+27a+d=0 $$

すなわち

$$ d=0 $$

である。

また $x=1$ で極大値 $1$ をとるので

$$ f(1)=1 $$

より

$$ a-6a+9a+d=1 $$

すなわち

$$ 4a=1 $$

となるから

$$ a=\frac14 $$

である。

したがって

$$ b=-6a=-\frac32,\quad c=9a=\frac94,\quad d=0 $$

を得る。

最後に極大・極小であることを確認する。

$$ f''(x)=6ax+2b $$

であり、求めた値を代入すると

$$ f''(x)=\frac32x-3 $$

だから

$$ f''(1)=-\frac32<0,\quad f''(3)=\frac32>0 $$

となる。よって $x=1$ で極大、$x=3$ で極小であり、条件に一致する。

解説

この問題の要点は、極大・極小をとる $x$ 座標が分かっているとき、まず導関数の根を決めることである。

3次関数そのものを直接4本の式で処理しても解けるが、

$$ f'(x)=k(x-1)(x-3) $$

と置くと未知数が実質的に減り、計算がかなり整理される。

また、停留点であることと、実際に極大・極小であることは別である。最後に $f''(1)<0,\ f''(3)>0$ を確認しておくと論理が締まる。

答え

$$ a=\frac14,\quad b=-\frac32,\quad c=\frac94,\quad d=0 $$