解説

方針・初手

与えられた式を $f(x)$ とする。$f(x)>0$ がすべての実数 $x$ で成り立つためには、まず $f(x)$ が奇数次式であってはならない。

したがって、$x^3$ の係数が $0$ であることを最初に調べる。

解法1

与えられた多項式を

$$ f(x)=(a^2-1)x^3+(-a+b+1)x^2+(ab-b-4)x+4a-3b+4 $$

とおく。

$f(x)>0$ がすべての実数 $x$ で成り立つとする。

$x^3$ の係数が $0$ でなければ、$f(x)$ は3次式である。 3次式は $x\to\infty$ と $x\to-\infty$ で符号が変わるので、すべての実数 $x$ に対して常に正となることはない。

よって、

$$ a^2-1=0 $$

すなわち

$$ a=\pm 1 $$

である。

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**(i)**

$a=1$ のとき

$$ f(x)=bx^2-4x+(8-3b) $$

となる。

これがすべての実数 $x$ に対して正であるためには、2次式として上に凸であり、かつ実数解をもたないことが必要である。 したがって

$$ b>0,\qquad D<0 $$

である。

判別式 $D$ は

$$ \begin{aligned} D &=(-4)^2-4b(8-3b) \\ &=16-32b+12b^2 \\ &=4(3b^2-8b+4) \\ &=4(3b-2)(b-2) \end{aligned} $$

である。

よって

$$ (3b-2)(b-2)<0 $$

より

$$ \frac23<b<2 $$

を得る。$b$ は整数なので

$$ b=1 $$

のみである。

このとき

$$ f(x)=x^2-4x+5=(x-2)^2+1>0 $$

となり、確かに条件を満たす。

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**(ii)**

$a=-1$ のとき

$$ f(x)=(b+2)x^2+(-2b-4)x-3b $$

である。これを整理すると

$$ \begin{aligned} f(x) &=(b+2)x^2-2(b+2)x-3b \\ &=(b+2)(x^2-2x)-3b \\ &=(b+2){(x-1)^2-1}-3b \\ &=(b+2)(x-1)^2-4b-2 \end{aligned} $$

となる。

これがすべての実数 $x$ で正となる条件を考える。

まず $b+2<0$ なら、$|x|$ を大きくすると $f(x)\to -\infty$ となるので不適である。 したがって

$$ b+2\ge 0 $$

である。

次に場合分けする。

**(ア)**

$b+2>0$ のとき

このとき最小値は $x=1$ でとり、

$$ f(1)=-4b-2 $$

である。したがって

$$ -4b-2>0 $$

すなわち

$$ b<-\frac12 $$

を要する。

これと $b+2>0$ を合わせると

$$ -2<b<-\frac12 $$

であり、整数 $b$ は

$$ b=-1 $$

のみである。

実際、

$$ f(x)=(x-1)^2+2>0 $$

である。

**(イ)**

$b+2=0$、すなわち $b=-2$ のとき

$$ f(x)=6>0 $$

となり、これも条件を満たす。

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以上より、求める整数の組は

$$ (a,b)=(1,1),\ (-1,-1),\ (-1,-2) $$

である。

解説

この問題の核心は、「すべての実数 $x$ に対して常に正」である多項式の形を見抜くことである。

3次式が全実数で常に正になることはないので、最初に $x^3$ の係数を $0$ に落とすのが決定的な一手である。その後は2次式の正値条件に帰着する。

$a=1$ の場合は判別式で処理するのが自然であり、$a=-1$ の場合は平方完成すると最小値がただちに読めるので処理が速い。

答え

$$ (a,b)=(1,1),\ (-1,-1),\ (-1,-2) $$