解説

方針・初手

極大値・極小値は、まず導関数 $f'(x)$ を求めて極値をとる $x$ の値を調べればよい。

この関数は3次関数であるから、極値は $f'(x)=0$ の解で生じる。まず極大となる点を特定し、そのときの関数値が $13$ になる条件から $a$ を求める。

解法1

関数

$$ f(x)=x^3-3x^2-9x+a $$

を微分すると、

$$ f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1) $$

となる。

したがって、$f'(x)=0$ より極値をとるのは

$$ x=-1,\ 3 $$

である。

次に、どちらが極大かを調べる。

$f'(x)=3(x-3)(x+1)$ の符号をみると、

• $x<-1$ では $f'(x)>0$
• $-1<x<3$ では $f'(x)<0$
• $x>3$ では $f'(x)>0$

である。

よって、$x=-1$ で増加から減少に変わるので極大、$x=3$ で減少から増加に変わるので極小である。

したがって極大値は $f(-1)$ であり、

$$ f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)+a=-1-3+9+a=a+5 $$

これが $13$ であるから、

$$ a+5=13 $$

より

$$ a=8 $$

である。

このとき、極小値は $x=3$ のときの値であるから、

$$ f(3)=3^3-3\cdot 3^2-9\cdot 3+8 $$

$$ =27-27-27+8=-19 $$

よって、極小値は $-19$ である。

解説

この問題では、「極大値が $13$」という条件から、まず極大をとる $x$ の値を正確に特定することが重要である。

$f'(x)=0$ の解が2つあっても、どちらが極大でどちらが極小かを符号変化で確認しないと取り違えるおそれがある。極大は $x=-1$、極小は $x=3$ であることを押さえれば、あとは代入計算だけである。

答え

$$ \text{[ア]}=8,\qquad \text{[イ]}=-19 $$