解説

方針・初手

極大値・極小値をとる点は、導関数 $f'(x)$ の解である。

したがって、まず

$$ f'(x)=3x^2+2kx+(k+1) $$

を求め、$\alpha,\beta$ をこの2次方程式の2解として扱う。 そのうえで、解と係数の関係を用いて $\alpha+\beta,\alpha\beta$ を求め、さらに $f(\beta)-f(\alpha)$ を整理する。

解法1

$f(x)=x^3+kx^2+(k+1)x$ より、

$$ f'(x)=3x^2+2kx+(k+1) $$

である。

$x=\alpha$ で極大、$x=\beta$ で極小をとるので、$\alpha,\beta$ は $f'(x)=0$ の2解である。 よって

$$ 3x^2+2kx+(k+1)=0 $$

の2解が $\alpha,\beta$ である。

（1） $\alpha+\beta,\alpha\beta$ を求める

2次方程式の解と係数の関係より、

$$ \alpha+\beta=-\frac{2k}{3},\qquad \alpha\beta=\frac{k+1}{3} $$

である。

（2） $\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}$ を求める

まず、

$$ \begin{aligned} \frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha} &= \frac{\beta^3-\alpha^3+k(\beta^2-\alpha^2)+(k+1)(\beta-\alpha)}{\beta-\alpha} \end{aligned} $$

と変形すると、

$$ \begin{aligned} \frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha} &= (\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2)+k(\alpha+\beta)+(k+1) \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ \begin{aligned} \alpha^2+\alpha\beta+\beta^2 &= (\alpha+\beta)^2-\alpha\beta \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha} &= (\alpha+\beta)^2-\alpha\beta+k(\alpha+\beta)+(k+1) \end{aligned} $$

となる。 （1） の結果を代入すると、

$$ \begin{aligned} \frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha} &= \left(-\frac{2k}{3}\right)^2-\frac{k+1}{3} +k\left(-\frac{2k}{3}\right)+(k+1) \\ &= \frac{4k^2}{9}-\frac{k+1}{3}-\frac{2k^2}{3}+k+1 \\ &= \frac{-2k^2+6k+6}{9} \end{aligned} $$

したがって、

$$ \begin{aligned} \frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha} &= -\frac{2}{9}(k^2-3k-3) \end{aligned} $$

である。

（3） $f(\beta)-f(\alpha)=-\dfrac{4}{27}$ のときの $k$

$\alpha,\beta$ は

$$

3x^2+2kx+(k+1)=0

$$

の2解であるから、解の公式より

$$

\alpha=\frac{-k-\sqrt{k^2-3k-3}}{3},\qquad \beta=\frac{-k+\sqrt{k^2-3k-3}}{3}

$$

である。よって

$$

\beta-\alpha=\frac{2\sqrt{k^2-3k-3}}{3}

$$

となる。

したがって、（2） の結果を用いると

$$

\begin{aligned} f(\beta)-f(\alpha) &= \frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}\,(\beta-\alpha)\\ &= \left\{-\frac{2}{9}(k^2-3k-3)\right\} \left\{\frac{2\sqrt{k^2-3k-3}}{3}\right\}\\ &= -\frac{4}{27}(k^2-3k-3)^{3/2} \end{aligned}

$$

これが $-\dfrac{4}{27}$ に等しいので、

$$

-\frac{4}{27}(k^2-3k-3)^{3/2}=-\frac{4}{27}

$$

より

$$

(k^2-3k-3)^{3/2}=1

$$

したがって

$$

k^2-3k-3=1

$$

すなわち

$$

k^2-3k-4=0

$$

$$

(k-4)(k+1)=0

$$

よって

$$

k=4,\ -1

$$

である。

解説

この問題の中心は、極値をとる点 $\alpha,\beta$ が導関数 $f'(x)$ の解になることにある。 したがって、3次関数そのものを直接いじるより、まず $f'(x)$ を2次方程式として見るのが基本方針である。

また、（2） では

$$

\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}

$$

を差商として処理し、$\alpha+\beta,\alpha\beta$ にまとめるのが典型である。 （3） ではさらに $\beta-\alpha$ も必要になるので、導関数の解の公式まで使えば一気に整理できる。

答え

**(1)**

$$

\alpha+\beta=-\frac{2k}{3},\qquad \alpha\beta=\frac{k+1}{3}

$$

**(2)**

$$

\begin{aligned} \frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha} &= -\frac{2}{9}(k^2-3k-3) \end{aligned} $$

**(3)**

$$

k=4,\ -1

$$