解説

方針・初手

極小値・極大値をとる $x$ の値が分かっているので、まず導関数 $f'(x)$ が $x=-1,,2$ を解にもつことを用いる。 これにより $a,b$ を決め、最後に

$$ 2|f(-1)|=f(2) $$

を使って $c$ を求める。

解法1

与えられた関数は

$$ f(x)=ax^3+(7-a^2)x^2+bx+c $$

であるから、導関数は

$$ f'(x)=3ax^2+2(7-a^2)x+b $$

となる。

$x=-1$ で極小値をとり、$x=2$ で極大値をとるので、$f'(x)$ は $x=-1,,2$ を解にもつ。 したがって、ある定数倍を用いて

$$ f'(x)=3a(x+1)(x-2) $$

と書ける。これを展開すると

$$ f'(x)=3a(x^2-x-2)=3ax^2-3ax-6a $$

である。

これを

$$ f'(x)=3ax^2+2(7-a^2)x+b $$

と係数比較すると、

$$ 2(7-a^2)=-3a,\qquad b=-6a $$

を得る。

まず $a$ について解くと、

$$ 14-2a^2=-3a $$

より

$$ 2a^2-3a-14=0 $$

となる。よって

$$ a=\frac{3\pm 11}{4} $$

すなわち

$$ a=\frac{7}{2},\ -2 $$

である。

ここで、条件は $x=-1$ で極小、$x=2$ で極大である。 これを二次導関数で判定する。

$$ f''(x)=6ax+2(7-a^2) $$

**(i)**

$a=\dfrac{7}{2}$ のとき

$$ f''(-1)=6\cdot \frac{7}{2}\cdot(-1)+2\left(7-\frac{49}{4}\right)<0 $$

となり、$x=-1$ で極大となってしまう。条件に反する。

**(ii)**

$a=-2$ のとき

$$ f''(x)=-12x+6 $$

であるから、

$$ f''(-1)=18>0,\qquad f''(2)=-18<0 $$

となり、$x=-1$ で極小、$x=2$ で極大となる。よって

$$ a=-2 $$

である。

さらに

$$ b=-6a=12 $$

だから、

$$ f(x)=-2x^3+3x^2+12x+c $$

となる。

次に極小値、極大値を求める。

$$ f(-1)=-2(-1)^3+3(-1)^2+12(-1)+c=c-7 $$

$$ f(2)=-2\cdot 2^3+3\cdot 2^2+12\cdot 2+c=c+20 $$

条件より

$$ 2|f(-1)|=f(2) $$

すなわち

$$ 2|c-7|=c+20 $$

である。

ここで場合分けする。

**(i)**

$c\geqq 7$ のとき

$$ 2(c-7)=c+20 $$

より

$$ c=34 $$

**(ii)**

$c<7$ のとき

$$ 2(7-c)=c+20 $$

より

$$ 14-2c=c+20 $$

$$ -3c=6 $$

$$ c=-2 $$

したがって、求める定数は

$$ (a,b,c)=(-2,12,34),\ (-2,12,-2) $$

である。

解説

極値をとる $x$ 座標が具体的に与えられているときは、まず導関数をその根を用いて因数分解するのが基本方針である。 この問題では $f'(x)$ の形がすぐに決まり、係数比較で $a,b$ が求まる。

その後、$a$ の候補が 2 つ出るが、どちらが「$x=-1$ で極小、$x=2$ で極大」に対応するかは、二次導関数の符号で判定すればよい。

最後の条件は極値そのものではなく極値の値に関する条件であり、$c$ はグラフ全体の上下移動を表すので、絶対値のために 2 通りの解が生じる。

答え

$$ (a,b,c)=(-2,12,34),\ (-2,12,-2) $$