解説

方針・初手

$x^2-x+1$ で割ったときの余りが与えられているので、まず

$$ p(x)=(x^2-x+1)(mx+n)+(-24x+48) $$

とおくのが自然である。 これを展開して係数を比較すれば $a,b$ と商が求まる。さらに、$x-2$ で割り切れる条件 $p(2)=0$ を用いて定数を確定する。最後に微分して極大となる $x$ の値を求める。

解法1

$p(x)$ を $x^2-x+1$ で割ったときの商は1次式であるから、

$$ p(x)=(x^2-x+1)(mx+n)+(-24x+48) $$

とおける。

右辺を展開すると、

$$ \begin{aligned} p(x) &=(mx+n)(x^2-x+1)-24x+48 \\ &=mx^3+(n-m)x^2+(m-n)x+n-24x+48 \\ &=mx^3+(n-m)x^2+(m-n-24)x+(n+48) \end{aligned} $$

となる。

これが

$$ p(x)=ax^3-6x^2-18x+b $$

に一致するので、係数を比較して

$$ m=a,\qquad n-m=-6,\qquad m-n-24=-18,\qquad n+48=b $$

を得る。

ここで

$$ n-m=-6 $$

より

$$ n=m-6 $$

である。

また、$p(x)$ は $x-2$ で割り切れるから

$$ p(2)=0 $$

である。 さきほどの形を用いると、

$$ p(2)=(2^2-2+1)(2m+n)+(-24\cdot 2+48) $$

であり、

$$ 2^2-2+1=3,\qquad -24\cdot 2+48=0 $$

だから

$$ p(2)=3(2m+n)=0 $$

となる。よって

$$ 2m+n=0 $$

である。

ここに $n=m-6$ を代入すると、

$$ 2m+(m-6)=0 $$

すなわち

$$ 3m-6=0 $$

より

$$ m=2 $$

となる。したがって

$$ n=m-6=-4 $$

である。

よって

$$ a=m=2,\qquad b=n+48=-4+48=44 $$

であり、商は

$$ mx+n=2x-4 $$

である。

次に極大となる $x$ を求める。 $p(x)$ は

$$ p(x)=2x^3-6x^2-18x+44 $$

だから、

$$ p'(x)=6x^2-12x-18=6(x^2-2x-3)=6(x-3)(x+1) $$

となる。したがって停留点は

$$ x=-1,\ 3 $$

である。

さらに

$$ p''(x)=12x-12 $$

であるから、

$$ p''(-1)=-24<0 $$

より、$x=-1$ で極大となる。

解説

この問題の要点は、余りが分かっているときは「割る式 $\times$ 商 $+$ 余り」とおくことである。 3次式を2次式で割った商は1次式になるので、未知数は2つで済む。

また、$x-2$ で割り切れるという条件は $p(2)=0$ に言い換えられる。これを先ほどの分解形に代入すると計算が非常に簡単になる。 極大・極小の判定は、微分して停留点を出し、2次導関数の符号で判定すればよい。

答え

$$ \text{(ア)}=2,\qquad \text{(イ)}=44,\qquad \text{(ウ)}=2x-4,\qquad \text{(エ)}=-1 $$

したがって、

$$ a=2,\qquad b=44 $$

であり、$p(x)$ を $x^2-x+1$ で割ったときの商は

$$ 2x-4 $$

である。また、関数 $y=p(x)$ は

$$ x=-1 $$

で極大になる。