解説

方針・初手

$f(x)=0$ が異なる $3$ つの実数解をもつなら，三次関数 $y=f(x)$ は $x$ 軸と $3$ 回交わる。したがって，その間に極値を与える点が $2$ つ存在するはずであり，これはロルの定理で厳密に示せる。

そのうえで，$f'(x)=3x^2+2ax+b$ の解を $\alpha,\beta$ とすると，和と積は係数比較からただちに分かる。これを用いて $\alpha^2+\beta^2,\ \alpha^3+\beta^3$ を求め，最後は代入計算で示す。

解法1

**(1)**

$f(x)=0$ の異なる $3$ つの実数解を

$$ r_1<r_2<r_3 $$

とする。

このとき

$$ f(r_1)=f(r_2)=0 $$

であるから，ロルの定理より，ある $\alpha\in(r_1,r_2)$ が存在して

$$ f'(\alpha)=0 $$

となる。

同様に，

$$ f(r_2)=f(r_3)=0 $$

であるから，ある $\beta\in(r_2,r_3)$ が存在して

$$ f'(\beta)=0 $$

となる。

ここで $(r_1,r_2)$ と $(r_2,r_3)$ は交わらないので，

$$ \alpha\neq\beta $$

である。したがって，方程式 $f'(x)=0$ は異なる $2$ つの実数解をもつ。

---

**(2)**

$$ f'(x)=3x^2+2ax+b $$

であり，その解が $\alpha,\beta$ であるから，

$$ 3x^2+2ax+b=3(x-\alpha)(x-\beta) $$

である。

係数を比較すると，

$$ \alpha+\beta=-\frac{2a}{3},\qquad \alpha\beta=\frac{b}{3} $$

を得る。

まず，

$$ \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta $$

より，

$$ \alpha^2+\beta^2=\left(-\frac{2a}{3}\right)^2-2\cdot\frac{b}{3} =\frac{4a^2}{9}-\frac{2b}{3} =\frac{4a^2-6b}{9} $$

である。

次に，

$$ \alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta) $$

より，

$$ \alpha^3+\beta^3 =\left(-\frac{2a}{3}\right)^3-3\cdot\frac{b}{3}\cdot\left(-\frac{2a}{3}\right) =-\frac{8a^3}{27}+\frac{2ab}{3} =\frac{-8a^3+18ab}{27} $$

である。

---

**(3)**

（2） で得た

$$ \alpha+\beta=-\frac{2a}{3} $$

より，

$$ \frac{\alpha+\beta}{2}=-\frac{a}{3} $$

である。

したがって，

$$ f\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=f\left(-\frac{a}{3}\right) $$

を計算すると，

$$ f\left(-\frac{a}{3}\right) =\left(-\frac{a}{3}\right)^3+a\left(-\frac{a}{3}\right)^2+b\left(-\frac{a}{3}\right)+c $$

$$ =-\frac{a^3}{27}+\frac{a^3}{9}-\frac{ab}{3}+c =\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c $$

となる。

一方，

$$ \frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2} =\frac{1}{2}\left\{(\alpha^3+\beta^3)+a(\alpha^2+\beta^2)+b(\alpha+\beta)+2c\right\} $$

であるから，（2） の結果を代入すると，

$$ \frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2} =\frac{1}{2}\left\{ \frac{-8a^3+18ab}{27} +a\cdot\frac{4a^2-6b}{9} +b\left(-\frac{2a}{3}\right) +2c \right\} $$

$$ =\frac{1}{2}\left(\frac{4a^3}{27}-\frac{2ab}{3}+2c\right) =\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c $$

となる。

よって，

$$ f\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2} $$

が成り立つ。

解説

（1） はロルの定理の典型である。三次式が異なる $3$ つの実数解をもつなら，その間で導関数が $0$ になる点が $2$ つ存在する。

（2） は $f'(x)$ の解の和と積を使うだけでよい。三次式そのものではなく，導関数である二次式に注目するのが要点である。

（3） は，まず

$$ \frac{\alpha+\beta}{2}=-\frac{a}{3} $$

を見抜くことが重要である。これは三次式の「変曲点の $x$ 座標」と一致しており，その点での値が両極値の平均になるという性質を表している。

答え

**(1)**

$f'(x)=0$ は異なる $2$ つの実数解をもつ。

**(2)**

$$ \alpha^2+\beta^2=\frac{4a^2-6b}{9},\qquad \alpha^3+\beta^3=\frac{-8a^3+18ab}{27} $$

である。

**(3)**

$$ f\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2} $$

が成り立つ。