解説

方針・初手

まず微分して増減を調べる。すると導関数が

$$ f'(x)=6(x-a)(x-b) $$

ときれいに因数分解できるので，極値をとる $x$ の値はすぐ分かる。

（2） では，3次関数が異なる3つの実数解をもつための条件を，極大値が正，極小値が負になることとして処理するのが最も自然である。

解法1

まず

$$ f(x)=2x^3-3(a+b)x^2+6abx $$

を微分すると，

$$ f'(x)=6x^2-6(a+b)x+6ab=6(x-a)(x-b) $$

である。ここで $a<b$ であるから，$f'(x)$ の符号は

• $x<a$ で正
• $a<x<b$ で負
• $x>b$ で正

となる。したがって，$x=a$ で極大，$x=b$ で極小をとる。

（1） 極大値と極小値

$x=a$ のときの値は

$$ \begin{aligned} f(a) &=2a^3-3(a+b)a^2+6aba\\ &=2a^3-3a^3-3ba^2+6a^2b\\ &=-a^3+3a^2b\\ &=a^2(3b-a). \end{aligned} $$

よって極大値は

$$ a^2(3b-a) $$

である。

同様に，$x=b$ のとき

$$ \begin{aligned} f(b) &=2b^3-3(a+b)b^2+6abb\\ &=2b^3-3ab^2-3b^3+6ab^2\\ &=-b^3+3ab^2\\ &=b^2(3a-b). \end{aligned} $$

よって極小値は

$$ b^2(3a-b) $$

である。

したがって，

• 極大値は $x=a$ で $a^2(3b-a)$
• 極小値は $x=b$ で $b^2(3a-b)$

となる。

（2） 異なる3つの実数解をもつ条件

3次関数 $y=f(x)$ は最高次の係数が正であるから，

$$ x\to -\infty \text{ で } f(x)\to -\infty,\qquad x\to \infty \text{ で } f(x)\to \infty $$

である。

このとき，方程式 $f(x)=0$ が異なる3つの実数解をもつための必要十分条件は，

• 極大値が正
• 極小値が負

となることである。したがって，

$$ f(a)>0,\qquad f(b)<0 $$

が必要十分である。

すなわち，

$$ a^2(3b-a)>0,\qquad b^2(3a-b)<0 $$

である。

ここで $a^2>0,\ b^2>0$ とするには $a\neq 0,\ b\neq 0$ が必要であり，そのもとで上の不等式は

$$ 3b-a>0,\qquad 3a-b<0 $$

すなわち

$$ a<3b,\qquad b>3a $$

となる。

よって求める条件は

$$ a\neq 0,\qquad b\neq 0,\qquad a<3b,\qquad b>3a $$

である。

これは $ab$ 平面では，

$$ b=3a,\qquad b=\frac{a}{3} $$

の2直線の両方より上側の部分であり，さらに座標軸

$$ a=0,\qquad b=0 $$

を除いた領域である。

場合分けして書けば，

**(i)**

$a>0$ のとき このとき $b>3a$ が条件である。

**(ii)**

$a<0$ のとき このとき $b>\dfrac{a}{3}$ で，さらに $b\neq 0$ である。

したがって図示すると，

• 第1象限では直線 $b=3a$ の上側
• 第2象限では軸を除く全体
• 第3象限では直線 $b=\dfrac{a}{3}$ の上側

が求める領域である。

解説

この問題の要点は，導関数が

$$ f'(x)=6(x-a)(x-b) $$

と因数分解できることである。したがって極値をとる点はすぐに $x=a,\ b$ と分かる。

また，3次方程式が異なる3つの実数解をもつ条件は，3次関数のグラフが $x$ 軸を3回横切ることに対応する。そのため，極大値が正，極小値が負であることに言い換えるのが本質である。ここを判定条件として使えば，$a,b$ の範囲が一次不等式に落ちて簡潔に求まる。

答え

**(1)**

極大値は $x=a$ で

$$ a^2(3b-a) $$

極小値は $x=b$ で

$$ b^2(3a-b) $$

**(2)**

方程式 $f(x)=0$ が異なる3つの実数解をもつための条件は

$$ a\neq 0,\qquad b\neq 0,\qquad a<3b,\qquad b>3a $$

である。

したがって $ab$ 平面上では，

$$ b=3a,\qquad b=\frac{a}{3} $$

の両直線より上側で，さらに $a=0,\ b=0$ を除いた領域である。