解説

方針・初手

まず $f(x)$ を因数分解する。係数の並びから

$$ f(x)=(4x-5)(x^2+mx+n) $$

と書けることに気づけば、$x=\dfrac54$ が常に解であること、そして「$x$ 軸との共有点の個数が $2$ 個」という条件が、二次式 $x^2+mx+n$ の根の状態に関する条件へ直ちに言い換えられる。

解法1

与えられた多項式は

$$ f(x)=4x^3+(4m-5)x^2-(5m-4n)x-5n $$

である。これをまとめると

$$ \begin{aligned} (4x-5)(x^2+mx+n) &=4x^3+4mx^2+4nx-5x^2-5mx-5n \\ &=4x^3+(4m-5)x^2-(5m-4n)x-5n \end{aligned} $$

となるので、

$$ f(x)=(4x-5)(x^2+mx+n) $$

である。

（1） $f\left(\dfrac54\right)$ の値

上の因数分解から、$x=\dfrac54$ は常に $f(x)=0$ の解である。したがって

$$ f\left(\frac54\right)=0 $$

である。

（2） $m,n$ が満たす条件

$f(x)=0$ は

$$ (4x-5)(x^2+mx+n)=0 $$

であるから、$x=\dfrac54$ は必ず実数解である。

ここで、グラフと $x$ 軸の共有点の個数が $2$ 個であるためには、$f(x)=0$ の異なる実数解がちょうど $2$ 個でなければならない。

二次式 $x^2+mx+n$ について考える。

（i） 二次式が異なる2つの実数解をもつ場合

このとき、通常は $x=\dfrac54$ と合わせて共有点は $3$ 個になる。

共有点が $2$ 個になるには、二次式の解の1つが $\dfrac54$ であればよいが、$x^2+mx+n$ は整数係数の首項 $1$ の多項式であるから、有理数解をもつならその解は整数でなければならない。したがって $\dfrac54$ はその解になりえない。

よってこの場合は不適である。

（ii） 二次式が実数解をもたない場合

このとき共有点は $x=\dfrac54$ のみで $1$ 個となるので不適である。

（iii） 二次式が重解をもつ場合

このとき二次式は異なる実数解を $1$ 個だけもち、それは $\dfrac54$ ではありえないから、全体として共有点はちょうど $2$ 個となる。

したがって必要十分条件は、二次式 $x^2+mx+n$ が重解をもつこと、すなわち判別式が $0$ であることである。

$$ m^2-4n=0 $$

よって

$$ n=\frac{m^2}{4} $$

である。さらに $n$ は整数であるから、$m$ は偶数でなければならない。そこで $m=2k$ とおくと

$$ n=k^2 \qquad (k\in \mathbb{Z}) $$

となる。

したがって、求める条件は

$$ m=2k,\quad n=k^2 \qquad (k\in \mathbb{Z}) $$

である。

（3） $m=2$ のときの極小値

（2） より、$m=2$ のとき

$$ n=\frac{2^2}{4}=1 $$

である。

したがって

$$ f(x)=(4x-5)(x^2+2x+1)=(4x-5)(x+1)^2 $$

となる。

これを微分すると

$$ \begin{aligned} f'(x) &=4(x+1)^2+(4x-5)\cdot 2(x+1) \\ &=(x+1){4(x+1)+2(4x-5)} \\ &=(x+1)(12x-6) \\ &=6(x+1)(2x-1) \end{aligned} $$

よって停留点は

$$ x=-1,\quad \frac12 $$

である。

符号を調べると、

• $x<-1$ で $f'(x)>0$
• $-1<x<\dfrac12$ で $f'(x)<0$
• $x>\dfrac12$ で $f'(x)>0$

であるから、$x=\dfrac12$ で極小となる。

その値は

$$ f\left(\frac12\right)=\left(4\cdot \frac12-5\right)\left(\frac12+1\right)^2 =(-3)\left(\frac32\right)^2 =-\frac{27}{4} $$

である。

解説

この問題の核心は、与えられた三次式を

$$ (4x-5)(x^2+mx+n) $$

と因数分解することである。これにより、常に $x=\dfrac54$ が解であることが分かり、残りは二次式の根の個数の問題に帰着する。

また、$x^2+mx+n$ は整数係数かつ首項が $1$ であるから、有理数解があるならそれは整数である。このため $\dfrac54$ が二次式の解になることはなく、共有点が $2$ 個であるためには二次式が重解をもつしかない。

答え

**(1)**

$$ f\left(\frac54\right)=0 $$

**(2)**

$$ m^2-4n=0 $$

すなわち

$$ m=2k,\quad n=k^2 \qquad (k\in\mathbb{Z}) $$

**(3)**

$m=2$ のときの極小値は

$$ -\frac{27}{4} $$

である。