解説

方針・初手

まず

$$ t=a^2+3a+2=(a+1)(a+2) $$

とおく。すると与えられた関数は

$$ f(x)=x^3+t^2x^2-\frac{4}{27}t^3 $$

となる。

極大値をもつかどうかは、導関数 $f'(x)$ が異なる2つの実数解をもつかどうかを見ればよい。また、極大値 $M$ は極大点における関数値を計算して求める。

解法1

$f(x)$ を微分すると

$$ f'(x)=3x^2+2t^2x=x(3x+2t^2) $$

である。したがって停留点は

$$ x=0,\quad x=-\frac{2}{3}t^2 $$

である。

ここで （i） $t=0$ のときを考えると、

$$ f'(x)=3x^2 $$

となり、$x=0$ でのみ $f'(x)=0$ であるが、符号は変化しない。したがってこのとき $f(x)$ は極大値をもたない。

一方、（ii） $t\neq 0$ のときは、$t^2>0$ であるから

$$ -\frac{2}{3}t^2<0 $$

となり、停留点は異なる2点である。さらに

$$ f''(x)=6x+2t^2 $$

より、

$$ f''!\left(-\frac{2}{3}t^2\right) =6\left(-\frac{2}{3}t^2\right)+2t^2 =-2t^2<0 $$

であるから、$x=-\dfrac{2}{3}t^2$ で極大値をとる。

よって、三次関数が極大値をもつための条件は

$$ t\neq 0 $$

すなわち

$$ a^2+3a+2\neq 0 $$

であり、

$$ (a+1)(a+2)\neq 0 $$

より

$$ a\neq -1,-2 $$

である。

次に極大値 $M$ を求める。極大点 $x=-\dfrac{2}{3}t^2$ を代入すると

$$ \begin{aligned} M &=f!\left(-\frac{2}{3}t^2\right) \\ &=\left(-\frac{2}{3}t^2\right)^3+t^2\left(-\frac{2}{3}t^2\right)^2-\frac{4}{27}t^3 \\ &=-\frac{8}{27}t^6+\frac{4}{9}t^6-\frac{4}{27}t^3 \\ &=\frac{4}{27}t^6-\frac{4}{27}t^3 \\ &=\frac{4}{27}\bigl(t^6-t^3\bigr). \end{aligned} $$

したがって

$$ M=\frac{4}{27}\left\{(a^2+3a+2)^6-(a^2+3a+2)^3\right\} $$

である。

さらに $M$ のとり得る値の範囲を求める。

$t=a^2+3a+2$ は

$$ t=\left(a+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4} $$

と変形できるので、

$$ t\ge -\frac{1}{4} $$

である。ただし極大値をもつ場合を考えているので $t\neq 0$ である。

ここで

$$ u=t^3 $$

とおくと、$t\ge -\dfrac14$ より

$$ u\ge -\frac{1}{64} $$

であり、

$$ M=\frac{4}{27}(u^2-u) =\frac{4}{27}\left\{\left(u-\frac12\right)^2-\frac14\right\}. $$

よって

$$ M\ge -\frac{1}{27}. $$

等号は $u=\dfrac12$、すなわち $t=\sqrt[3]{\dfrac12}$ のときに成り立つ。これは $t\ge -\dfrac14$ の範囲内で実現可能であるから、最小値 $-\dfrac{1}{27}$ は実際にとる。

また $u\to \infty$ とすれば $M\to \infty$ であるから、上限はない。

したがって

$$ -\frac{1}{27}\le M<\infty $$

である。

解説

この問題では、$a$ を直接扱うよりも $t=a^2+3a+2$ とおいて整理するのが本筋である。導関数に現れるのが $t^2$ であるため、停留点の個数は $t=0$ のときだけ特別になる。

また、極大値の範囲は $M$ をそのまま $t$ の式で追うより、$u=t^3$ と置いて二次式

$$ u^2-u $$

としてみると一気に見通しがよくなる。平方完成によって最小値が直ちに分かる点が重要である。

答え

**(1)**

極大値をもつ条件は

$$ a^2+3a+2\neq 0 $$

すなわち

$$ a\neq -1,-2 $$

である。

**(2)**

極大値 $M$ は

$$ M=\frac{4}{27}\left\{(a^2+3a+2)^6-(a^2+3a+2)^3\right\} $$

である。

また、そのとり得る値の範囲は

$$ -\frac{1}{27}\le M<\infty $$

である。