解説

方針・初手

極値をもつかどうかは、導関数 $f'(x)$ の符号変化で決まる。

三次関数 $f(x)$ が極大・極小をもつためには、$f'(x)=0$ が異なる $2$ つの実数解をもつことが必要である。したがって、極値をもたないための条件は、$f'(x)=0$ が重解をもつか、実数解をもたないことである。

まず $f'(x)$ を求めて判別式を調べる。

解法1

与えられた関数は

$$ f(x)=ax^3-\frac{3}{2}(a^2+1)x^2+3ax \qquad (a\ne 0) $$

であるから、導関数は

$$ f'(x)=3ax^2-3(a^2+1)x+3a $$

となる。よって

$$ f'(x)=3{ax^2-(a^2+1)x+a} $$

である。

$f(x)$ が極値をもたないためには、二次方程式

$$ ax^2-(a^2+1)x+a=0 $$

が異なる $2$ つの実数解をもたないことが必要十分である。

この判別式を $\Delta$ とすると、

$$ \Delta=(a^2+1)^2-4a^2 $$

$$ =(a^4+2a^2+1)-4a^2 $$

$$ =a^4-2a^2+1 $$

$$ =(a^2-1)^2 $$

となる。

したがって

$$ \Delta=(a^2-1)^2 \ge 0 $$

であるから、$\Delta<0$ となることはない。よって、異なる $2$ つの実数解をもたないためには

$$ \Delta=0 $$

でなければならない。

ゆえに

$$ (a^2-1)^2=0 $$

より

$$ a^2=1 $$

すなわち

$$ a=\pm 1 $$

である。

最後に確認する。

**(i)**

$a=1$ のとき

$$ f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2 $$

となり、$f'(x)$ の符号は変化しないから極値をもたない。

**(ii)**

$a=-1$ のとき

$$ f'(x)=-3x^2-6x-3=-3(x+1)^2 $$

となり、この場合も $f'(x)$ の符号は変化しないから極値をもたない。

以上より求める $a$ は $a=\pm 1$ である。

解説

この問題の本質は、「三次関数が極値をもつのは導関数が異なる $2$ 実根をもつとき」という事実である。

$f'(x)$ は二次式なので、判別式で処理するのが最も標準的である。しかも判別式が

$$ (a^2-1)^2 $$

という完全平方になるため、負になることはなく、極値をもたない場合は重解の場合しか起こらない。したがって $\Delta=0$ を解けばすぐに決まる。

答え

$$ a=\pm 1 $$