解説

方針・初手

点Pの速度は、位置 $x_P$ を $t$ で微分すればよい。

また、点Mは点P,Qの中点であるから、座標は

$$ x_M=\frac{x_P+x_Q}{2} $$

であり、速度についても

$$ v_M=\frac{v_P+v_Q}{2} $$

が成り立つ。これを用いて点Qの座標と速度を求める。

解法1

点Pの $t$ 分後の座標は

$$ x_P=2t^3-15t^2 $$

であるから、点Pの速度 $v_P$ は

$$ v_P=\frac{dx_P}{dt}=6t^2-30t=6t(t-5) $$

となる。

したがって、点Pの速度が $0$ になるのは

$$ 6t(t-5)=0 $$

より

$$ t=0,\ 5 $$

である。

よって、（1） の答えは、出発した瞬間と $5$ 分後である。

次に、点Mの速度が

$$ v_M=3t^2-14t-22 $$

と与えられているので、これを積分すると点Mの座標は

$$ x_M=\int (3t^2-14t-22),dt=t^3-7t^2-22t+C $$

となる。

点P,Qはともに原点Oから出発するので、$t=0$ のとき

$$ x_P(0)=0,\quad x_Q(0)=0 $$

である。したがって中点Mも原点にあるから

$$ x_M(0)=0 $$

である。これを代入すると $C=0$ なので、

$$ x_M=t^3-7t^2-22t $$

である。

ここで

$$ x_M=\frac{x_P+x_Q}{2} $$

より

$$ x_Q=2x_M-x_P $$

となるから、

$$ x_Q=2(t^3-7t^2-22t)-(2t^3-15t^2) $$

$$ =t^2-44t $$

を得る。

さらに、点Qの速度 $v_Q$ は $x_Q$ を微分して

$$ v_Q=\frac{dx_Q}{dt}=2t-44 $$

となる。

解説

この問題の要点は、速度が「座標の微分」であることと、中点の座標が両端の座標の平均で表されることである。

（1） では微分して方程式を解くだけであるが、$t=0$ も条件を満たすので落とさないことが重要である。

（2） では、与えられているのが点Mの速度であって座標ではないため、まず積分して $x_M$ を出す必要がある。その際、積分定数は「最初に原点から出発する」という条件で決まる。

答え

**(1)**

点Pの速度が $0$ になるのは

$$ t=0,\ 5 $$

すなわち出発した瞬間と $5$ 分後である。

**(2)**

点Qの座標と速度は

$$ x_Q=t^2-44t $$

$$ v_Q=2t-44 $$

である。